Пусть вдоль оси х навстречу друг другу распространяются две плоские гармонические волны с одинаковыми частотами и амплитудами:

.

Все частицы упругой среды, охваченной волновым про-цессом, будут участвовать в колебаниях, возбуждённых каждой из волн:

x = x 1 + x 2 = + .

Используя тригонометрическую формулу для суммы коси-нусов, получаем

где А (х ) = 2Acoskx .

Полученное выражение показывает, что частицы упругой среды, охваченные двумя волновыми процессами, совершают гармонические колебания с частотой w.

Амплитуда колебаний частиц среды зависит от координаты х .

В точках, координаты которых отвечают условию kx = ± n p, где n = 0, 1, 2, 3... coskx = ±1 и амплитуда колебаний частиц среды максимальна. Такие точки называются пучностями . Координаты пучностей определяются соотношением .

В точках, отвечающих условию амплитуда равна нулю, т. е. частицы среды в этих точках не колеблются вообще. Такие точки называют узлами . Координаты узлов определяются соотношением .

Поскольку амплитуда колебаний частиц среды определяется их координатой и не зависит от времени, постольку положение узлов и пучностей не изменяется. Узлы и пучности остаются на одном месте. Поэтому волну, возникающую в результате нало-жения встречных волн одинаковой частоты, называют стоячей .

Рассмотрим натянутую струну, концы которой жёстко за-креплены. Пусть длина струны равна l.

Допустим, что в этой струне возбуждены колебания.

Струну можно представить себе как совокупность бесконечно малых связанных между собой элементов. Колебания одного такого элемента должны вовлекать в колебательный процесс и другие элементы струны. Следовательно, если в струне возбудить колебания, то в ней возникнет упругая волна.

Конец струны жёстко закреплён, колебаться не может. Сле-довательно, он не может возбудить колебания в той среде, к ко-торой прикреплён. Поэтому волна, дошедшая до конца струны, полностью отразится.

Это означает, что по струне будут распространяться две встречные волны и .

Как показано выше, при наложении таких волн возникает стоячая волна. Это означает, что на струне с закреплёнными концами может возникнуть стоячая волна.

Поскольку мы говорим о струне с жёстко закреплёнными концами, на концах струны всегда должна быть узлы.

Из выражений для расчёта координат узлов и пучностей видно, что соседние узлы (так же как и пучности) отстоят друг от друга на l/2.

Следовательно, длина струны должна быть такой, чтобы на ней целое число раз укладывалась половина длины волны:

где n = 1, 2, 3...

Это, в свою очередь, означает, что на струне длинной l могут возникать стоячие волны лишь определённых частот

Эти частоты называются собственными частотами струны, или частотами нормальных колебаний. Колебания с такими частотами называют гармониками (колебание с частотой, соответствующей n = 1 называют первой гармоникой, n = 2 – второй гармоникой и т. д.).

Групповая скорость

В науке и технике волны широко используются для передачи информации. Однако гармоническая волна способна донести информацию лишь о том, что где-то есть источник волны.

Для того чтобы с помощью волн можно было передавать необходимое количество информации, их необходимо изменять (например, испускать волны в виде импульсов, или изменять амплитуду волны, её частоту, начальную фазу). Такая волна называется модулированной.

С помощью модулированных упругих волн определяют глубину морей и океанов (эхолот), а модулированные электро-магнитные волны позволяют осуществлять радио- и телевещание.

Но если модулированные волны отличаются от гармони-ческих способностью переносить информацию, то, возможно, им присущи и другие отличия.

Исследуем один из аспектов этой проблемы – найдём скорость, с которой модулированная волна переносит энергию.

Для этого рассмотрим две одинаково направленные плоские поперечные бегущие волны, колебания которых происходят в одной плоскости, амплитуды которых равны, а частоты почти одинаковы.

.

Эту волну можно представить в виде

,

,

т. е. это волна с медленно изменяющейся амплиту-дой, или модулированная, такая же, как на рисунке.

Показанная здесь кар-тина соответствует како-му-то моменту времени. В следующий момент она сдвинется вправо.

Найдём скорость, с ко-торой модулированная волна будет распространяться. Для простоты рассмотрим точку, в которой амплитуда максимальна, – скорость перемещения этой точки равна скорости модулиро-ванной волны.

Поведение точки с максимальной амплитудой описывается выражением . Но это выражение можно трактовать как уравнение бегущей волны с циклической частотой d w = w 1 –w 2 и волновым числом dk = k 1 – k 2 .

Для любой бегущей волны , и w=kv . Тогда скорость точки с максимальной амплитудой будет равна

,

где v 1 и v 2 – фазовые скорость волн с циклическими частотами w 1 и w 2 соотвественно.

Если дисперсии нет, то v 1 = v 2 = v и , т. е. «гребень» такой волны перемещается с фазовой скоростью.

Если же среда диспергирующая, то и скорость . Это означает, что «гребень» перемещается со скоростью, отличной от v 1 и v 2 .

Если вспомнить, что энергия колебаний пропорциональна квадрату амплитуды, то легко сообразить, что бóльшая часть энергии, переносимой такой волной, сконцентрирована там, где амплитуда волны велика. Это означает, что полученная скорость u есть скорость передачи энергии.

Эту скорость u и называют групповой :

Важно отметить, что фронт волны распространяется с групповой скоростью.

Электромагнитные волны

К середине XIX в. был открыт ряд важнейших законов в области электричества и магнетизма. Значительная часть открытий в этой области принадлежит Майклу Фарадею.

Этот крупнейший учёный, по праву считающийся осново-положником современной электродинамики, как это ни странно, не знал математики.

Поэтому открытые им явления не имели математического описания.

В 1854 г. в Кембриджский университет был принят на работу только что закончивший его Джеймс Клерк Максвелл. Основной целью своей деятельности он избрал математическое описание открытий Фарадея.

Это ему удалось (см. разд. 5.6, 5.7). Один из результатов деятельности Максвелла – предсказание о существовании электромагнитных волн.

Примерно через двадцать лет после этого электромагнитные волны были получены экспериментально немецким физиком Генрихом Герцем.

Рассмотрим механизм возникновения и некоторые особенности электромагнитных волн.

Допустим, что электрическое поле в вакууме создано зарядом, совершающим гармонические колебания.

Электрическое поле, созданное таким зарядом, также должно изменяться с течением времени по гармоническому закону.

Плотность тока смещения, созданного изменяющимся электрическим полем, равна . Поскольку производная от гармонической функции является гармонической функцией, постольку ток смещения также будет изменяться по гармони-ческому закону.

Ток смещения создаёт магнитное поле

.

Интеграл от гармонической функции также является гармо-нической функцией. Следовательно, маг-нитное поле, созданное током смещения, будет изменяться по гармоническому закону.

Важно отметить, что изменение электрического и магнитного полей опи-сывается одной и той же гармонической функцией.

Ток смещения совпадает по направлению с вектором ¶Е .

Вектор индукции магнитного поля всегда перпендикулярен создавшему его току.

Это означает, что магнитное поле, созданное изменяющимся электрическим полем, будет перпендикулярно ему.

В соответствии с уравнением Максвелла о циркуляции вектора Е , изменяющееся магнитное поле порождает электри-ческое. Причём порождаемое электрическое поле будет перпен-дикулярно изменяющемуся магнитному.

Это, в свою очередь, означает, что даже если исчезнет заряд, создавший изменяю-щееся электрическое поле, изменяющиеся электрическое и магнитное поля будут продолжать распространяться в прост-растве в виде электромагнитной волны.

Более строгий анализ позволяет пока-зать, что изменяющиеся электрическое и магнитное поля описываются волновыми уравнениями:

где с – скорость света в вакууме (если электромагнитная волна распространяется в среде, то используется скорость света в этой среде).

Решение этих уравнений имеет следующий вид:

,

где амплитуды Е и Н связаны соотношением .

Можно также показать, что если вектор Е па-раллелен оси х , а вектор В параллелен оси у , то электромагнитная волна распро-страняется вдоль оси z (см. рису-нок). Другими словами, векторы Е , Н и вектор скорости электро-магнитной волны с образуют правую тройку.

Важно отметить, что колеба-ния Е и Н синфазны.

Цель работы : изучение волновых явлений, условия существования стоячих волн, исследование упругих свойств струны.

Основные теоретические положения

Пусть точка, совершающая колебания, находится в среде, все частицы которой связаны между собой. Тогда энергия колебаний точки может передаваться окружающим точкам, вызывая их колебания. Явление распространения колебаний в среде называется волной. При этом колеблющиеся частицы не перемещаются с распространяющимся колебательным процессом, а колеблются около своих положений равновесия.

Если в неограниченной среде беспрепятственно распространяется единственная волна, то она называется бегущей. Составим уравнение бегущей волны, позволяющее определять смещение любой точки волны в любой момент времени.

Р

Рис. 9.1. К выводу уравнения бегущей волны

ассмотрим непрерывную однородную среду− струну, которая на концеx =0 присоединена к источнику гармонических колебаний в момент времени t ’: D (t ’)= Asint ’. Найдём смещение элементов струны, как функцию координаты x и времени t , то есть функцию
. Очевидно, что для точкиx =0,
= D (t ’)= Asint ’ (рис. 9.1). Предположим, что бегущее по струне возмущение распространяется с некоторой скоростью. Смещение элемента струныx в момент t равно смещению элемента x =0 в момент t ’
=
, если расстояние между ними равно расстоянию, которое возмущение проходит за время t - t ’ со скоростью . Тогда точкиx =0 и x = x колеблются в одной фазе: x =(t - t ’),
,
. Поэтому уравнение бегущей синусоидальной волны
=
= Asint ’ , то есть

. (9.1)

Преобразуем функцию (9.1):
. Обозначим= k и назовём его волновым числом, тогда
=
. Следовательно, скорость
,
. Величину
, равную расстоянию, которое возмущение преодолевает за период колебаний, назовём длиной волны, то есть
, тогда
,
.

Уравнение (9.1) и есть уравнение бегущей одномерной (или плоской) волны. При заданном x оно позволяет определить положение точки (с координатой равновесного положения x ) в любой момент времени t . При заданном t оно позволяет определить мгновенные положения всех колеблющихся точек.

Таким образом, видим, что в волновом движении имеет место двоякая периодичность. С одной стороны, каждая частица среды совершает периодическое движение во времени, с другой стороны, в каждый момент времени все частицы располагаются на линии, форма которой периодически повторяется в пространстве.

Определим скорость распространения продольных колебаний вдоль бес­конечно длинного стержня с постоянным поперечным сечением.

П

Рис. 9.2. Распространение упругой деформации вдоль стержня

ридействии на левое сечение силой (рис. 9.2) вблизи этого сечения происходит уплотне­ние материала стержня, и возникает деформация сжатия. Появляются упругие силы, стремящиеся восстановить первоначальную плотность, в результате чего возникает сжатие соседних областей и таким образом локальное возмущение плотности вблизи левого края стержня распространяется вправо со скоростью . Импульс силы упругости
равен

. Если Е − модуль сжа­тия, иначе называемый модулем Юнга, то
. За время
деформация распространяется на расстояние
. Масса участкастержня, охваченная деформацией, увеличится на
вследствие уве­личения плотности материала на
.Так как
,то
. В соответствии со вторым зaконом Ньютона импульс силы упругости равен изменению импульса, то есть
. Подставляя все величины, получим

или
, (9.2)

где
- погодная плотность материала стержня.

Уравнение (9.1) описывает волну, распространяющуюся в положитель­ном направлении оси ох. При изменении направления распространения волны на противоположное второе слагаемое в аргументе косинуса изменяет знак, так как заменяется на

. (9.3)

Рассмотрим теперь распространение волны в струне, закрепленной с обеих сторон. При этом волна, движущаяся в одном направлении, достигнув второго закрепленного конца струны, отразится и станет распространяться в противоположном направлении. Таким образом вдоль длины струны возникнет явление наложения волн, распространяющихся в противоположных направлениях. Если свойства среды не изменяются под воздействием распространяющейся волны, то будет выполняться принцип суперпозиции, согласно которому каждая волна распространяется в среде независимо от других. В этом случае результирующее смещение z частиц среды будет определяться как сумма смещений z 1 и z 2 , обусловленных прохождением отдельных волн. В результате будет наблюдаться в различных точках среды усиление или ослабление колебаний в зависимости от фаз приходящих возмущений.

Сложение волн, при котором в разных точках среды образуются усиления и ослабления амплитуды колебаний, называется интерференцией волн. Такая интерференционная картина сохраняется во времени.

Рассмотрим интерференцию двух волн с одинаковой амплитудой, распространяющихся в противоположных направлениях, как в случае струны, закрепленной с обеих сторон. При этом необходимо учитывать следующее явление. После отражения от закрепленного конца отраженная деформация имеет противоположный знак. Это становится понятным, если учесть, что так, как смещение закрепленного конца все время отсутствует, у точки крепления развиваются силы, препятствующие приходящему изгибу струны. Эти силы порождают изгиб противоположного знака, начинающий распространяться в обратную сторону. Поэтому и в отраженной деформации знак смещения изменяется на обратный. Если отражается гармоническая волна, то такое изменение равносильно «потере» полуволны при отражении.

Таким образом, наложение двух волн даст следующее:

Используя формулу разности синусов, получим

. (9.4)

Это выражение называется уравнением стоячей волны, при этом предполагается режим установившихся колебаний, то есть режим, возникающий после многократного пробега волн между креплениями струны. Из (9.4) видно, что в стоячей волне все точки среды (любое значение x ) колеблются по гармоническому закону с круговой частотой .

Амплитуда колебаний различна для разных точек и определяется из (9.4) следующим образом:

. (9.5)

Из последнего выражения вытекает, что есть точки среды, называемые узлами, в которых колебания отсутствуют Z m = 0, следовательно, z = 0. Координаты этих точек определятся из условия равенства нулю синуса в выражении (9.5), то есть

. (9.6)

Отсюда, так как
, получаем

.

Следовательно, расстояние между соседними узлами равно половине длины волны. Так как узлы все время остаются в покое, то в стоячей волне нет направленного переноса энергии, энергия не может перейти через узел. Передача энергии по струне производится только бегущей волной.

Те точки, в которых значение амплитуды достигает максимума
, называются пучностями. Как следует из выражения (9.5), координаты этих точек определяются из условия
, то есть отвечают уравнению
. Видим, что расстояние между соседними пучностями также равно половине длины волны.

Множитель
при переходе через узел меняет знак, вследствие чего фаза колебаний по разные стороны от узла отличается на. Все точки, находящиеся между двумя соседними узлами, колеблются в одинаковой фазе (их отклонения имеют одинаковый знак). Условие неподвижности обоих концов закрепленной струны приводит к тому, что на длине струны должно укладываться целое число полуволн:

. (9.7)

Таким образом, стоячая волна образуется только при надлежащем соотношении размеров струны и длины волны (частоты колебаний). Для разных значений n = 1, 2,… получим различные типы, или моды, колебаний, при этом n определяет число пучностей, а не узлов. Из (9.6) с учетом (9.7) получим формулу для частот, при которых в струне устанавливаются стоячие волны

, (9.8)

Частоты называют собственными частотами струны. Частоту
называют основной частотой, остальные
– обертонами. Видим, что определяемые формулой (9.8) собственные частоты не зависят от модуля Юнга материала. Этот результат является следствием того, что мы пренебрегли изменением натяжения струны при колебаниях.

В общем случае в струне могут одновременно существовать колебания с различными собственными частотами. Так, наряду с основным тоном n = 1, могут возбуждаться обертоны n = 2, 3, 4,….

Полученные выше уравнения описывают движение идеально гибкой струны в вакууме. При колебаниях реальной струны всегда происходят потери энергии.

Часть энергии теряется вследствие трения о воздух, другая часть уходит через концы струны и т.д. Для поддержания незатухающих колебаний служит вибратор. Если энергия потерь в точности компенсируется энергией, поступающей от вибратора, то в струне можно наблюдать стоячие волны. Но теперь по струне должна происходить передача энергии. Поэтому наряду со стоячими будут существовать бегущие волны, в результате чего узлы окажутся несколько размытыми. Если потери энергии за период малы по сравнению с запасом колебательной энергии в струне, то искажение стоячих волн бегущей волной будет незначительным.

Другим приближением в изложенной выше теории является пренебрежение неоднородностью струны. В реальной струне и плотность, и натяжение могут являться непрерывными функциями координаты Х . Например, если струна подвешена вертикально, то учет массы струны приведет к тому, что натяжение в верхних частях будет больше, чем внизу. Любая неоднородность приведет к искажению формы колебаний, так как синусоидальные колебания в пространстве характерны только для нормальных мод однородных систем.

На рис.3 представлены типичные зависимости квадрата частот колебаний струны от силы натяжения для различных гармоник n . Наблюдение cобcтвенныx колебаний cтpуны затpуднено, так как они отноcительно быcтpо затуxают. Поэтому в pаботе pаccматpиваютcя колебания, возбуждаемые поcтоянно дейcтвующей пеpиодичеcкой вынуждающей cилой.

Экспериментальная установка

Уcтановка (pиc. 4) состоит из металличеcкой рамы, состоящей из двух направляющих труб (1) , закрепленных на определенных расстояниях с помощью брусков (2) . На одном из брусков (2) установлена стойка (3) предназначенная для закрепления одного конца струны (4). На другом бруске (2) установлено устройство А , служащее для изменения натяжения струны и состоящее из пружинного динамометра (5) и узла его перемещения (6) . К пружине динамометра закреплен другой конец струны (4) . Сила натяжения изменяется ручкой (7) , а измеряется пружинным динамометром (5) . На направляющих трубах (2) укрепляются на определенных расстояниях бруски с установленными на них элементами. Стойками (8) устанавливается рабочая длина струны (4) . Длина струны между двумя закрепленными ее концами, равная расстоянию между стойками (8) измеряется линейкой (9) , находящейся на одной из труб. Колебания струны возбуждаются с помощью электромагнитного вибратора (10) , питаемого переменным током от генератора (11) , который имеет встроенный частотометр. Эле ктромагнитный вибратор (10) заставляет струну совершать вынужденные колебания с частотой генератора (11) . Амплитуда колебаний регистрируется электромагнитным датчиком (12) , соединенным с вольтметром (13) . Величина сигнала, выдаваемого электромагнитным датчиком, зависит от его расстояния до струны. Это изменение осуществляется с помощью винта (14) . Аналогичное устройство используется для регулировки расстояния между вибратором и струной. Расстояние между струной и вибратором меняется с помощью винта (15) , при этом изменяется амплитуда вынужденных колебаний струны.

Проведение эксперимента
Упражнение 1. Установление зависимости частот собственных колебаний от силы натяжения струны.
Cила натяжения P опpеделяет cкоpоcть pаcпpоcтpанения возмущения вдоль cтpуны (2) и, cледовательно, чаcтоту cобcтвенныx колебаний (19). В этом упpажнении экcпеpиментально опpеделяетcя xаpактеp завиcимоcти v n от cилы натяжения cтpуны P .

Измерения

Стойками (8) установите максимальную кратную 10 см длину струны. Натяните струну с силой 2 кГс (1 кГс=9.8 Н). Вибратор установите в положение, отстоящее на 10 см от закрепленного конца струны. Установите датчик приблизительно в 10 см от середины струны.

Изменяя частоту генератора ручкой "грубо" (начиная от нулевого значения по его школе) зафиксируйте максимальное отклонение стрелки вольтметра, регистрирующего амплитуду колебаний струны. При этом частота колебаний струны, установленная по шкале встроенного в генератор есть "грубое" значение экспериментально установленной резонансной частоты. Для определения точного значения величины v эксп воспользуйтесь шкалой "плавно" генератора. Поворачивая вправо или влево ручку генератора "плавно" добейтесь максимального отклонения стрелки (если при этом стрелка выходит за предел шкалы, увеличивайте диапазон измерений вольтметра ручкой "диапазон"). Запишите показание встроенного частотомера. Это значение резонансной частоты.

Установите, какой из гармоник соответствует данное колебание. Для этого не изменяя частоту генератора, перемещая датчик вдоль струны, определите количество узловых точек (при нахождении датчика под узловой точкой его сигнал равен нулю). Номер гармоники n колебания опpеделяетcя по фоpмуле n = N + 1 , где N - число узлов (не считая точки закрепления).

Увеличивая частоту колебаний, описанным выше образом, чтобы установите резонансные частоты для последующих четырех гармоник. Экспериментально установленные значения v эксп занесите в табл. 1.

Установите значения нормальных колебаний первых гармоник для различных значений натяжения струны P . Для этого в области частот нормальных колебаний для соответствующих гармоник, установите частоты при которых наблюдаются максимальные колебания (по вольтметру) струны для сил ее натяжения равных 2, 3, 4, 5, 6 и 7 кГс. Экспериментально установленные значения v эксп занесите в табл. 1.

Обработка результатов

С помощью выражения (19) определите теоретические значения частот v теор нормальных колебаний для пяти первых гармоник при натяжениях струны равных 2, 3, 4, 5, 6 и 7 кГс. Результаты расчетов внесите в табл.1.

Постройте теоретические зависимости квадрата частоты v 2 теор от силы натяжения P для пяти первых гармоник колебаний. Они должны быть подобны показанным на рис.3.

Отметьте на теоретических зависимостях квадраты экспериментально установленных значений частот пяти первых гармоник нормальных колебаний для разных величин P . Проведите сравнение экспериментальных и теоретических значений v 2 n для нормальных колебаний.

Таблица 1

P , кГс	1-я гармоника		2-я гармоника		3-я гармоника		4-я гармоника		5-я гармоника
	v эксп	v теор	v эксп	v теор	v эксп	v теор	v эксп	v теор	v эксп	v теор
2
3
4
5
6
7

Упражнение 2. Определение зависимости номера гармоники колебания от натяжения струны.

Из рис. 3 видно, что значение v 2 (а следовательно и частоты нормальных колебаний) для разных гармоник могут принимать одинаковые значения при определенных величинах силы натяжения струны P . Поэтому меняя силу натяжения струны можно наблюдать различные гармоники нормальных колебаний на одной и той же частоте. В данном упражнении за счет изменения силы натяжения струны проводят наблюдение различных гармоник нормальных колебаний на одной и той же частоте.
Измерения

Натяните струну с силой 2 кгс и найдите 5-ю гармонику по методике, описанной в упр.1.

Не меняя частоты генератора и увеличивая натяжение струны определяют значения P , при которых наблюдаются максимальные значения амплитуд колебаний. По методике, описанной в упр.1 устанавливают число узловых точек и соответственно номера гармоник для данных нормальных колебаний.

Найденные значения сил натяжения и соответствующие им номера гармоник занесите в табл.2.

Таблица 2

Обработка результатов
Постройте график зависимости n от P .

Упражнение 3. Опpеделение завиcимоcти чаcтот cобcтвенныx колебаний от длины cтpуны.

Измерения

Установите силу натяжения струны 3кГс.

Используя методику, описанную в упр.1 определите значения частот 1 и 2 гармоник собственных колебаний. Результаты занесите в табл.3

Изменяя длину струны (уменьшая каждый раз ее длину примерно на 20 %) определите значения частот 1 и 2 гармоник ее собственных колебаний. Результаты эксперимента занесите в табл.3

Таблица 3

L , см	1/L , см -1	1-я гармоника		2-я гармоника
		v эксп	v теор	v эксп	v теор

Обработка результатов

С помощью выражения (19) определите теоретические значения частот 1 и 2 гармоник собственных колебаний струны при тех ее длинах, для которых получены экспериментальные результаты. Результаты занесите в табл.3.

Постройте теоретические зависимости v 1,2 от величины, обратной длине струны 1/L .

Отметьте на теоретических зависимостях экспериментально установленные значения частот 1 и 2 гармоник нормальных колебаний для разных значений 1/L . Проведите сравнение экспериментальных и теоретических значений v 1,2 для нормальных колебаний.

Основные итоги работы
В xоде pаботы должны быть экcпеpиментально получены завиcимоcти чаcтот cобcтвенныx колебаний cтpуны от cилы натяжения и длины. Результаты должны быть cопоcтавленны c теоpетичеcки pаccчитанными завиcимоcтями для извеcтной линейной плотноcти cтpуны.
Контрольные вопросы

Что такое свободные, вынужденные, собственные и нормальные колебания системы?

Сколько степеней свободы имеет натянутая струна, сколько нормальных колебаний в ней может быть возбуждено?

Вывести волновое уравнение.

Вывести связь между частотой нормального колебания, длиной струны и скоростью распространения волны в струне.

Что происходит в струне, когда частота внешнего сигнала выбрана произвольно (не обязательно равной одной из собственных частот)?

Литература

Стрелков С.П. Механика, М. Наука, 1975, гл.15, § 143.

Сивухин Д.В. Общий курс физики. т.1. Механика. М. Наука, 1989, § 84.

Наиболее важные приложения ряды (и интегралы) Фурье имеют в области математической физики. Желая осветить эти приложения примерами, мы начнем с классической задачи о колебании струны, которая сыграла важную роль в самой постановке вопроса о возможности тригонометрического разложения функции.

Под струной мы разумеем свободно изгибающуюся и невесомую нить. Пусть такая струна, длины закреплена концами в точках оси х и под действием натяжения Н располагается в равновесии вдоль этой оси (рис. 138). Представим себе, что в момент струна выводится из положения равновесия и, вдобавок, точки ее снабжаются некоторыми скоростями в вертикальном направлении.

Тогда точки струны начнут колебаться в вертикальной же плоскости. Если допустить, что каждая точка М струны с абсциссой х колеблется строго вертикально, то ее отклонение у в момент времени 0 от положения равновесия будет функцией от обеих переменных

Задача и состоит в определении этой функции.

Ограничимся рассмотрением лишь малых колебаний струны, при которых величины у и малы (так что струна незначительно отдаляется от положения равновесия и остается пологой); это дает нам право пренебрегать квадратами этих малых величин.

Возьмем элемент струны в момент времени t (см. рис.); его длину, в силу сказанного, можно считать равной его первоначальной длине в начальный момент, ибо

Раз мы пренебрегаем изменениями длины, то и натяжение струны мы можем считать неизменным.

На выделенный элемент струны действует в точке М натяжение Н, направленное влево по касательной в этой точке, а в точке - такое же натяжение, но направленное вправо по касательной. Если через а и а обозначить соответствующие углы наклона касательной, то сумма вертикальных составляющих этих сил (а только их нам и нужно учитывать) будет

Здесь мы снова воспользовались правом отбрасывать квадраты малых величин (например, положили

а затем приращение функции заменили ее дифференциалом.

Если обозначить через «линейную» плотность струны, то масса элемента будет

Тогда по закону движения Ньютона произведение массы элемента на ускорение должно равняться найденной выше силе, действующей на этот элемент:

окончательно получим такое дифференциальное уравнение в частных производных:

которое и описывает изучаемое явление.

Кроме этого уравнения, искомая функция должна удовлетворять еще ряду требований, прежде всего - так называемым предельным или граничным условиям:

выражающим факт закрепления концов струны. Затем, если функции характеризуют отклонения и скорости точек струны в момент то должны выполняться и начальные условия:

Таким образом, задача сводится к разысканию такой функции которая удовлетворяла бы уравнению (2) и условиям (3) и (4).

Начнем, следуя по пути, указанному Фурье, с разыскания частных решений уравнения (2), удовлетворяющих, сверх того, предельным условиям (3), но отличным от нулевого решения (начальные условия мы пока оставляем в стороне). Упомянутые частные решения мы станем искать в виде произведения двух функций, из которых одна зависит только от х, а другая - только от

Уравнение (2) в этом случае принимает вид

где штрихи означают производные по той переменной, от которой функция зависит, или

Так как левая часть этого равенства не зависит от х, а вторая - от t, то общее значение их по необходимости не зависит ни от х, ни от t и сводится

к постоянной, которую мы возьмем в виде Тогда уравнение (5) распадается на два:

их решения «общие интегралы» имеют вид:

Для того чтобы функция удовлетворяла предельным условиям (3), им должна удовлетворять функция X. Полагая сразу видим, что полагая же и учитывая, что уже не может быть нулем, придем к условию

откуда при натуральном Таким образом, X может иметь одно из следующих значений:

Полагая при

придем к такой последовательности частных решений:

Нетрудно видеть, что поставленным требованиям будет удовлетворять и сумма этих решений, взятых в любом числе. Это наталкивает на мысль рассмотреть бесконечный ряд, составленный из всех таких решений, и положить

Мы примем пока, что этот ряд сходится и что сумма его удовлетворяет уравнению (2); выполнение условий (3) очевидно. Теперь лишь обращаемся мы к начальным условиям (4) и постараемся распорядиться постоянными так, чтобы удовлетворить и им. Допустим, что для ряда (8) законно почленное дифференцирование по t, так что

Полагая в (8) и (9) , приходим к условиям

Отсюда, если только функции удовлетворяют условиям разложимости в ряд Фурье, по формулам (25) п° 689 и определяются, наконец, искомые

коэффициенты:

Мы получили, таким образом, по крайней мере формально, полное решение поставленной задачи в виде ряда (8) с коэффициентами, вычисленными по формулам (11)!

Правда, вопрос о том, будет ли оно действительно решением, пока остается открытым. Для того чтобы ответить на него, наложим теперь требования на функции и именно, пусть функция будет дифференцируема, а функция дважды дифференцируема, причем производные и предположим имеющими ограниченное изменение в промежутке Тогда имеют место такие оценки:

Оба разложения (10) в действительности имеют место во всем промежутке сходится и разложение (8), причем определяемая им функция удовлетворяет как предельным, так и начальным условиям (почленное дифференцированное по t теперь оправдывается равномерной сходимостью ряда Несколько сложнее удостовериться в том, что эта функция удовлетворяет самому дифференциальному уравнению.

Заметим, что ряды (10) сходятся и за пределами промежутка обозначая их суммы по-прежнему через мы получаем, таким образом, распространения этих функций на весь бесконечный промежуток с сохранением их дифференциальных свойств, за исключением разве лишь точек вида при целом к. Ряд для равномерно сходящийся в любом конечном промежутке, можно почленно проинтегрировать, так что

Участвующие в таком элементарном колебании точки струны все колеблются с одной и той же частотой или, если угодно, с одним и тем же периодом, которому отвечает тон определенной высоты. Амплитуда колебания каждой точки зависит от ее положения; она равна

Вся струна разбивается на равных участков, причем точки одного и того же участка находятся всегда в одной и той же фазе, а точки соседних участков - в прямо противоположных фазах. На рис. 139 изображены последовательные положения струны для случаев . Точки, отделяющие один участок от другого, находятся в покое; это - так называемые «узлы». Середины участков («пучности») колеблются с наибольшей амплитудой. Описанное явление носит название стоячей волны; отсюда и сам метод Фурье обычно называют методом стоячих волн.

Основной тон определяется первой составляющей ей отвечает частота и период Остальные тона, одновременно с основным издаваемые струной, или обертоны, характеризуют определенную «окраску» звука, или его тембр. Если нажать пальцем в середине струны, то сразу заглохнут как основной тон, так и нечетные обертоны, для которых там была пучность. Четные обертоны, для которых на середину струны приходится узел, все сохранятся; среди них роль основного будет играть второй обертон, с периодом и струна станет издавать октаву первоначального тона. Все это можно прочитать по полученному решению нашей задачи!

Музыка есть таинственная арифметика души; она вычисляет, сама того не сознавая.

Г. Лейбниц

Ноябрьским утром 1717 г. на ступенях парижской церкви святого Жана ле Рона был найден младенец. Его взяли на воспитание и в честь святого церкви окрестили Жаном ле Роном. Мальчик рано проявил блестящий ум и жадную любознательность и вскоре стал гордостью всей Франции. Это был Жан ле Рон Д"Аламбер (1717-1783) - выдающийся французский математик, философ, писатель, член Парижской, Петербургской и других академий.

Круг интересов Д"Аламбера был необычайно широк: механика (принцип Д"Аламбера), гидродинамика (парадокс Д"Аламбера), математика (признак сходи мости Д"Аламбера), математическая физика (формула Д"Аламбера), философия теория музыки. Такой широты требовала и oабота вместе с Дени Дидро над созданием наменитой "Энциклопедии наук, искусств и ремесел", да и сам дух эпохи посвещения, когда к знаниям тянулись все, в том числе и "просвещенные деспоты" Фридрих II и Екатерина II. Последуя неоднократно приглашала Д"Аламбера быть воспитателем ее сына - цесаревича Павла, назначая при этом баснословное вознаграждение, но всегда получала деликатный, но твердый отказ.

Колебания струны длины l. Показаны два момента времени t 1

В 1747 г. Д"Аламбер опубликовал статью "Исследования по вопросам о кривой, которую образует натянутая струнa, приведенная в колебание", где впервые задача о колебании струны сводилась к решению дифференциального уравнения в частных производных. И хотя эта тема выходит за рамки школьной математики но ведь в знаниях "держать себя в рамках" - значит погубить свою любознательность!), мы рассмотрим простое и поистине красивое уравнение, описывающее колебание струны, так называемое полновое уравнение, с которого началась новая ветвь математики - математическая физика:

(10.1)

Здесь t - время; х - координата струны в положении равновесия; u = u(х, t) - неизвестная функция, выражающая отклонение точки с координатой х в момент времени t от положения равновесия; а 2 - коэффициент пропорциональности, характеризующий упругие свойства струны , T - сила натяжения струны, р - плотность однородной струны). Предполагается, что струна совершает малые колебания, происходящие в одной плоскости. Наконец, символы обозначают частную производную второго порядка, которая определяется как производная от производной . Частные производные - , как и обычная "школьная" производная характеризует скорость изменения функции u(х,t) по каждой из переменных х или t в отдельности при условии, что другая переменная не изменяется (у функций одной переменной y = y(x) - одна производная, а у функции двух переменных u = u(х,t) - две частные производные . Чтобы отличать частные производные от обыкновенных "школьных", пишут не прямую букву , а круглую .

Волновое уравнение (10.1) есть не что иное, как следствие второго закона Ньютона. Левая часть (10.1) выражает вертикальное ускорение струны в точке х, а правая часть - отнесенную к массе струны силу, вызывающую это ускорение, которая тем больше, чем больше вогнутость струны .

Д"Аламбер нашел общее решение уравнения (10.1)

которое содержит две произвольные функции φ(х,t) и ψ(х,t). Через пять лет Даниил Бернулли (1700-1782), математик, механик, физиолог и медик, почетный член Петербургской Академии наук, представитель славного рода Бернулли, который к настоящему времени подарил миру более 100 потомков, добившихся значительных результатов во всех сферах человеческой деятельности, и прежде всего в научной, получил другое общее решение уравнения (10.1)

Сравнивая решения Д"Аламбера (10.2) и Д. Бернулли (10.3), мы, казалось бы, приходим к абсурду: одно и то же уравнение (10.1) имеет совершенно непохожие решения! Но никакого абсурда здесь нет, так уж устроены дифференциальные уравнения. Они обладают бесчисленным множеством решений, что легко видеть из (10.2), где функции φ(x - at) и ψ(x + at) произвольные. При достаточно общих предположениях относительно функций φ и ψ правая часть (10.2) может быть представлена рядом (10.3).

Выбор того или иного частного решения дифференциального уравнения диктуется условиями, в которых протекает процесс (это так называемые граничные условия), и условиями, которые имели место в начале процесса (так называемые начальные условия). Только совокупность дифференциального уравнения, начальных и граничных условий определяет решение той или иной физической задачи. С помощью общего решения (10.2) Д"Аламбер решил одну из таких задач: найти колебания бесконечной струны (т. е. при отсутствии граничных условий), которой в начальный момент времени t = 0 придали некоторую форму f(х) и сообщили некоторое ускорение g(x). Математически задача ставилась так: найти решение уравнения (10.1), удовлетворяющее начальным условиям u(х,0) = f(x), u(х,0) = g(x), т. е. решить систему

(10.4)

Решение задачи (10.4) определяется формулой Д"Аламбера

Формула (10.5) в простейшем случае g(x) = 0, т. е. когда струну тихонько оттянули и отпустили, не придавая ей дополнительного ускорения, принимает вид

и физически означает, что сообщенный струне при t=0 профиль f(x) будет распространяться влево и вправо со скоростью а. Это так называемые две бегущие волны , движущиеся в противоположных направлениях с одинаковой скоростью а.

На самом деле бесконечных струн не бывает. Струна имеет конечную длину l и, как правило, жестко закреплена на концах. Так возникают граничные условия: u(0,t) = 0 - струна закреплена слева (х = 0); и (l,t) = 0 - струна закреплена справа (х = l). Ясно, что в этом случае бегущие волны будут отражаться от концов, взаимодействовать друг с другом и образовывать более сложную картину колебаний.

Задача о колебании конечной струны была независимо решена Д"Аламбером и Эйлером, а еще через полвека Жозеф Фурье изобрел новый метод, позволявший решать эту и многие другие задачи математической физики. Задача о колебании конечной струны формулируется так: найти решение волнового уравнения (10.1), удовлетворяющее начальным условиям u(х,0) = f(х), u t (x,0) = g(x) и граничным условиям u(0,t) = 0, u(l,t) = 0, т. е. решить систему

(10.6)

Жан Батист Жозеф Фурье (1768-1830) не был кабинетным ученым. Он взлетел на гребне Великой французской революции 1789 г. и из сына провинциального портного, готовившегося принять монашеский постриг, превратился в друга императора Наполеона. В 1798 г. Фурье участвовал в египетском походе Наполеона, где его жизнь не раз подвергалась опасностям. По возвращении из Египта Фурье занимался административной деятельностью, но находил время и для математических исследований. В 1807 г. он написал свою бессмертную работу "Математическая теория тепла". Главный математический результат Фурье можно описать так: при некоторых ограничениях всякую функцию f (х) можно представить в виде ряда (бесконечной суммы чисел или функций), называемого ныне рядом Фурье:

Фурье разработал метод решения уравнений типа (10.1), называемый методом разделения переменных Фурье.

Идея метода Фурье гениально проста. Решение уравнения (10.1) ищется в виде произведения двух функций X(х) и Т(t), каждая из которых зависит только от одной, "своей" переменной:

u(х,t) = X(x)T(t). (10.7)

Замена (10.7) расщепляет уравнение (10.1) на два дифференциальных уравнения в обыкновенных "школьных" производных:

(10.8)

где λ - неизвестный вспомогательный параметр. Решая уравнения (10.8) и удовлетворяя начальным и граничным условиям (10.6) (разумеется, мы опускаем все промежуточные выкладки, которых здесь, как и при выводе формулы Д"Аламбера (10.5), хватит на несколько страниц), находят окончательное решение задачи (10.6) о колебании конечной струны:

(10.9)

Выясним физический смысл решения (10.9), и прежде всего функций u n (х,t), составляющих это решение. Для этого выполним искусственное преобразование:

(Здесь мы воспользовались формулой синуса суммы двух аргументов и тем, что Таким образом, u n (х,t) можнс представить в виде

(10.10)

Из формулы (10.10) видно, что каждое решение u n представляет собой гармоническое колебание (т. е. колебание по закону синуса) с одной и той же частотой и фазой φ n . Амплитуда же колебаний А n (х) для разных точек струны разная, т. е. зависит от координаты точки струны х. Из (10.10) видно, что при х = 0 и х = l А n (0) = А n (1) = 0, т. е. на концах струна неподвижна.

Итак, во времени колебания струны происходят с постоянной частотой ω n , амплитуда колебания для каждой точки струны своя. При этом все точки струны одновременно достигают своего максимального отклонения в ту или другую сторону и одновременно проходят положения равновесия. Такие колебания называются стоячими волнами .

Пользуясь выражением для амплитуды стоячей волны (10.10) и учитывая, что 0≤x≤l, найдем неподвижные точки стоячих волн:

Неподвижные точки называются узлами стоячей волны. Ясно, что посередине между узлами расположены точки, в которых отклонения в стоячей волне достигают максимума. Эти точки называются пучностями стоячей волны.

Сделаем общий вывод: колебание конечной струны представляет собой бесконечную сумму стоячих волн u n (х,t), каждая из которых имеет постоянную частоту колебания и изменяющуюся по длине струны амплитуду В k-й стоячей волне имеется k

пучностей и (k + 1) узлов.

Перейдем теперь к "музыкальному содержанию" решения (10.9) и прежде всего к частотам колебаний. Мы пришли к выводу, что струна колеблется не только всей своей длиной, но одновременно и отдельными частями: половинками, третями, четвертями и т. д. Следовательно, струна издает звук не только основной частоты , но и призвуки частот . Тон основной частоты струны ω 1 называется основным тоном струны , а остальные тона, соответствующие частотам ω 2 , ω 3 , ..., ω k , ..., называются обертонами (верхними тонами) или гармониками . Основной тон струны принимается за первый обертон (первую гармонику). Именно обертоны, сливаясь в общем звучании с основным тоном, придают звуку музыкальную окраску, называемую тембром .

Различие тембров музыкальных звуков в основном объясняется составом и интенсивностью обертонов у разных источников звуков. Чем больше у звука обертонов, тем красивее, "богаче" он нам кажется. По тембру, т. е. по составу обертонов, мы отличаем звуки одной и той же высоты и одинаковой громкости, воспроизведенные на скрипке или фортепиано, голосом или на флейте. Разумеется, и сам инструмент способен давать различные тембровые окраски, что прежде всего относится к скрипке.

У скрипачей есть особый способ необычного по тембру звукоизвлечения - игра флажолетами. Слегка дотрагиваясь пальцем до струны в узлах стоячих волн, но так, чтобы струна не соприкасалась с грифом, скрипач гасит одни обертоны и оставляет другие. В результате возникает мягкий, немного свистящий звук, напоминающий по тембру звучание старинного Деревянного духового инструмента - флажолета. Например, дотронувшись до струны точно посередине, скрипач гасит все гармоники, имеющие в этой точке пучности, и сохраняет только гармоники, имеющие в этой точке узлы, т. е. четные гармоники. Таким образом, самой низкой частотой станет второй обертон .

Но это не будет по тембру звук точно на на октаву выше основного тона , так как он будет составлен только из четных гармоник. Аналогично, дотронувшись до струны в точке l/3, скрипач оставит только гармоники, кратные трем: ω 3 , ω 6 , ..., и получит флажолет, не похожий на первый, даже если сделать ω 2 = ω 3 . Игра флажолетами требует виртуозной точности. Ведь если мы не попадем точно в узел, то погасим вообще все гармоники и струна попросту не зазвучит!

Вот какую огромную роль играют в музыке слагаемые u n (х,t) в решении (10.9). Их с полным правом называют звуковой краской музыканта. Но не только музыканты, а и создатели музыкальных инструментов проявляют постоянную заботу об этих слагаемых, от которых зависит тембр звука. Достаточно напомнить об особом "итальянском тембре" скрипок работ знаменитых итальянских мастеров XVI-XVIII веков, представителей нескольких поколений семей Амати, Гварнери, Страдивари.

Из решения (10.9), задавая нужным образом функции f(х) и g(x) и вычисляя интегралы, можно формально получить законы, которые экспериментально обнаружил английский ученый-энциклопедист Томас Юнг (1773 - 1829):

1. Если возбуждать струну в какой-либо точке, то в этой точке возникает пучность и не может образоваться узел.

2. Если затормозить струну в какой-либо точке, то в этой точке возникает узел и не может образоваться пучность.

Из первого закона Юнга следует, что если возбуждать струну, например, точно посередине, то в ней погасятся все гармоники, имеющие в этой точке узел, т. е. все четные обертоны. Значит, мы потеряем половину обертонов и звук станет блеклым. Ясно, что чем дальше от середины мы будем возбуждать струну, тем меньше первых, самых важных гармоник мы потеряем. Тембр звука от этого станет полнее и ярче. Вот почему смычок на скрипке, правая рука на гитаре, молоточки на фортепиано - все они возбуждают струну приблизительно на 1/7-1/10 доли струны от места ее закрепления. Делается это для того, чтобы не потревожить первые обертоны, а значит, не обеднить музыкальный звук. Что касается игры на скрипке флажолетами, то она основана на втором законе Юнга, который является обратным к первому закону.

Прежде чем расстаться с законами Юнга, скажем несколько слов об их создателе. Томас Юнг был удивительным человеком. " Всякий может делать то, что делают другие" - таков был девиз его жизни. И Юнг необычайно преуспел в исполнении этого нелегкого правила. Он был цирковым актером (акробатом и канатоходцем), авторитетным знатоком живописи, играл практически на всех су. Шествовавших в его время музыкальных инструментах, занимался расшифровкой египетских иероглифов, знал массу языков, в том числе латинский, греческий и арабский. И кроме всех этих "увлечений", Юнг получил блестящие результаты в науках: физике (волновая теория света), теории упругости (модуль упругости Юнга), оптике, акустике, астрономии, физиологии, медицине. Юнг написал около 60 глав научных приложений к знаменитой "Британской энциклопедии".

Рассмотрим подробнее основной тон струны. Вспоминая, что , получим формулу для частоты основного тона:

(10.11)

откуда легко увидеть законы колебания струны, которые экспериментально обнаружили еще древние греки и которые затем переоткрыл и описал в своей "Универсальной гармонии" Марен Мерсенн:

1. Для струн одинаковой плотности и одинакового натяжения частота колебания обратно пропорциональна длине струны (это не что иное, как "первый закон Пифагора - Архита"; см. с. 101).

2. При заданной длине и плотности струны ее частота пропорциональна корню квадратному из натяжения.

3. При заданной длине и натяжении частота струны обратно пропорциональна корню квадратному из ее плотности. (При постоянной плотности чем толще струна, тем меньше частота ее колебаний, т. е. тем ниже звук.)

Разумеется, все эти законы (по крайней мере, качественно) можно было установить на монохорде.

Но обратимся вновь к обертонам. Легко видеть, что частоты обертонов относятся как числа натурального ряда:

Таким образом, струна издает целый звукоряд тонов, называемый натуральным звукорядом. Теоретически натуральный звукоряд бесконечен. На практике же имеют значение первые 16 обертонов, так как остальные обертоны слишком мало отличаются друг от друга, обладают слишком малой энергией и фактически не слышны.

Натуральный звукоряд. Полагая ω 1 = l, частоты натурального звукоряда выражаются натуральным рядом чисел (ω n = n). Натуральный звукоряд содержит все консонансы и все интервалы чистого строя

В самом деле, из (10.12) следует, что интервальный коэффициент двух соседних гармоник ω n и ω n+1 равен (n = 1, 2, 3, ...). Поскольку то мы легко приходим к выводу: с ростом номера п интервал между соседними гармониками натурального звукоряда уменьшается и в пределе стремится к чистой приме (унисону).

На рисунке показаны первые 16 гармоник колеблющейся струны, образующие натуральный звукоряд. Цифры справа обозначают частоты гармоник, считая ω 1 = 1, а красная линия (гипербола) отсекает часть струны 1/n, которая колеблется с частотой ω n = n. Мы видим, что второй обертон и основной тон составляют интервал октавы ω 2 /ω 1 = 2. Третий и второй обертоны - интервал квинты: ω 3 /ω 2 = 3/2. Четвертый и третий - кварты: ω 4 /ω 3 = 4/3. Пятый и четвертый - большой терции: ω 5 /ω 4 = 5/4. Шестой и пятый - малой терции: ω 6 /ω 5 = 6/5. Но ведь это есть не что иное, как набор совершенных и несовершенных консонансов! Таким образом, мы пришли к разгадке "закона консонансов" - "второго закона Пифагора - Архита" (с. 101 - 102): консонантные интервалы, которые математически выражаются отношением

вида (n = 1, 2, 3, 4, 5), определены самой природой колебания струны! Все консонансы заключены в первых шести гармониках, т. е. первых шести тонах натурального звукоряда, причем по мере удаления от первой гармоники (основного тона) степень консонантности интервала убывает. Итак, закон целочисленных отношений для консонантных интервалов , который, по преданию, был экспериментально открыт Пифагором на монохорде, является следствием математического решения задачи о колебании струны и непосредственно вытекает из решения (10.9).

Переходя к более высоким гармоникам, нетрудно обнаружить также два интервала тона чистого строя: ω 9 /ω 8 = 9/8, ω 10 /ω 9 = 10/9 и интервал полутона чистого строя: ω 16 /ω 15 = 16/15. Таким образом, все интервалы чистого строя содержатся в натуральном звукоряде ! Вот почему чистый строй более приятен в гармоническом звучании, чем пифагоров строй.

Но и сами тона чистого строя (8.7) почти полностью определены натуральным звукорядом. В самом деле, если рассмотреть октаву между 8-й и 16-й гармониками, принимая частоту 8-й гармоники за единицу (т. е. поделив все частоты на 8), то мы обнаружим в этой октаве все ступени чистого строя, кроме 4-й (4/3) и 6-й (5/3). Следовательно, чистый строй почти целиком содержится в натуральном звукоряде .

Однако это коварное "почти" до сих пор составляет одну из загадок музыки. В самом деле, почему именно 7, 11 и 13-й обертоны (14-й обертон является октавным повторением 7-го) не входят ни в один из музыкальных строев? Знаменитый "фальшивый" 7-й обертон третье столетие не дает покоя теоретикам музыки! С одной стороны, ясно, что неправильно называть этот звук фальшивым, ибо он дан самой природой, которую трудно упрекнуть в фальши. Но с другой стороны, все теоретики музыки, начиная с Рамо, были слишком большими музыкантами, чтобы включить седьмую гармонику в какую-либо музыкальную систему (седьмой звук явно "резал ухо"!). Впрочем, еще в XVIII веке французский музыкальный теоретик Балльер с присущей французу легкостью писал: "Разница между древностью и современностью заключается в том, что тогда начинали считать диссонансы с 5-го призвука, а теперь начинают их считать лишь с 7-го". Не пойдет ли развитие музыки так, что в новых музыкальных системах найдется место и 7, и 11, и 13-му обертонам?.. А пока молоточки фортепиано, следуя первому закону Юнга, ударяют на 1/8 длины струны, чтобы максимально снизить силу злополучного 7-го обертона.

Наконец, отметим еще одну важную особенность натурального звукоряда. Глядя на рисунок, мы видим, что 4, 5 и 6-я гармоники образуют мажорное звучание (до-ми-соль ). А если к ним добавить еще и 1-ю, и 2-ю гармоники, то получится мажорное трезвучие в сопровождении октавного баса! Итак, мажорное трезвучие составлено из ближайших гармоник (4, 5 и 6-й) основного тона (баса мажорного трезвучия) . Следовательно, оно не только консонирует, но и обладает акустическим единством, заложенным в самой природе колебания струны. Это дало основание одному из последних универсальных ученых - немецкому математику, физику, физиологу и психологу Герману Гельмгольцу (1821 - 1894) утверждать, что "мажорный аккорд наиболее натурален из всех аккордов".

Ну а минорное трезвучие? Споры о природе минора не затихают и по сей день. В них участвовали Рамо, Д"Аламбер, Руссо, Гёте, Гельмгольц, многие наши современники. На сегодня мнения сходятся в том, что поскольку в минорном трезвучии (до - ми-бемоль - соль) второй звук (ми-бемоль) лежит на полутон ниже пятой гармоники основного тона, то он образует с ней едва слышимый диссонанс, который и обусловливает некоторую "затененность", "нечто мрачное и неясное, необъяснимое для слушателя" (Гельмгольц). По o этой причине в музыке Баха, Генделя, Моцарта минорные произведения часто заканчиваются мажорным - наиболее натуральным, просветленным - аккордом.

Итак, в мажорной гамме третья ступень как бы тяготеет вверх, тогда как в минорной она тяготеет вниз. Движение же вверх воспринимается нами как восхождение к свету, просветление, радость. Напротив, движение вниз ассоциируется со спуском в темноту, затемнением, печалью. Эти объективные предпосылки поддерживаются, кроме того, определенной традицией применения мажора и минора. В тех же случаях, когда эти традиции нарушаются, мы встречаем разудалую песню "Яблочко", написанную в миноре, и молитву "Ave Maria ", которую, несмотря на ее название - "Радуйся, Мария" - и мажорный лад, никак не назовешь веселой. К сожалению, смешивание объективных физико-математических законов строения мажора и минора с их субъективной эстетической оценкой породило вокруг них много ненужных споров.

В заключение остановимся еще на одной проблеме колеблющейся струны. До сих пор, следуя решению (10.9), мы пытались "разъять, как труп" колебания струны на простейшие гармонические составляющие. Но ведь на самом деле, опять же согласно (10.9), составляющие колебание струны гармоники складываются, образуя сложную картину колебаний. Характер этой картины зависит прежде всего от амплитуд гармоник. Решить эту задачу в общем виде не просто, поэтому остановимся на более простой задаче.

Пусть складываются два колебания постоянной и одинаковой амплитуды, равной для простоты единице, и разных частот ω 1

Суммарное колебание, пользуясь формулами суммы синусов и косинуса половинного угла, представим в виде

При сложении двух колебаний, близких по частоте (ω 1 = 8 и ω 2 = 10), возникают биения - периодическое усиление и ослабление звука, происходящее с частотой биений ω = ω 2 - ω 1 = 2

Равенство (10.13), когда частоты ω 1 и ω 2 близки друг к другу с достаточной степенью точности, можно трактовать следующим образом: сумма двух гармонических колебаний частот ω 1 и ω 2 является "почти гармоническим" колебанием, частота которого есть среднее арифметическое данных частот , а амплитуда изменяется во времени с частотой ω 2 -ω 1 и ограничена сверху функцией , а снизу - функцией - . Легко видеть, что амплитуда суммарного колебания пульсирует с частотой ω 2 -ω 1 от нуля до максимального значения и затем снова до нуля. По этой причине такие колебания называют биениями . Из (10.13) также видно, что максимальная амплитуда биений вдвое больше амплитуд составляющих колебаний.

Итак, при сложении двух близких по частоте колебаний возникают биения" т. е. почти гармонические колебания с частотой, равной средней частоте данных колебаний, и амплитудой, пульсирующей с частотой биений, которая равна разности частот данных колебаний. Издаваемый при биениях звук то периодически усиливается, то замирает.

Перейдем к музыкальной стороне явления биений. Известно, что всякое прерывистое раздражение нервов воспринимается сильнее, чем постоянное. Однако с увеличением частоты раздражений нерв не успевает следить за изменениями, отдельные раздражения сливаются между собой и становятся незаметными. Экспериментально установлено, что наиболее отчетливо слышны биения с частотой 4-5 Гц (колебаний в секунду). Биения с частотой около 15 Гц еще различимы, а при частоте около 30 Гц они начинают сливаться, но создают неприятное ощущение хрипловатости звучания.

Существует теория Гельмгольца, которая объясняет явления консонанса и диссонанса биениями, возникающими между гармониками двух звучащих основных тонов. Согласно теории Гельмгольца, от наличия биений, их частоты и громкости (амплитуды) зависит степень консонантности и диссонантности интервала. Поясним эту теорию на примере. В таблице 2 в качестве основного тона взяты нота до малой октавы, частота которой равна 131 Гц, и ее пять обертонов. Далее приведены первые пять обертонов для звуков до 1 , соль, фа, ми (чистого строя), ми (пифагорова строя) и до-диез (чистого строя), которые образуют с основным тоном до соответственно интервалы октавы, квинты, кварты, большой терции, пифагоровой терции и малой секунды.

Понятно, что для октавы совпадают частоты гармоник, номера которых относятся как 2/1, для квинты - как 3/2 и т. д. (см. табл. 2). Сравнивая частоты первых гармоник, мы видим, что чем меньше становится интервал, тем ближе частоты основных тонов, тем различимее будут биения и, следовательно, тем меньше будет степень консонантности интервала. Поэтому самым консонантным интервалом является октава, затем идут квинта и кварта. Все три этих интервала не дают биений и относятся к совершенным консонансам. Терция дает в первых гармониках чуть более 30 биений, т. е. на пороге различимости, и поэтому относится к несовершенным консонансам. А вот малая секунда дает 9 биений (140-131 = 9) и поэтому является явным диссонансом. Заметим, что четвертая гармоника пифагоровой терции (663,2) и пятая гармоника основного тона (655) дают 8 биений (663-655 = 8). Эти биения и создают неприятное гармоническое звучание пифагоровой терции. Однако поскольку они происходят в старших гармониках, т. е. значительно слабее биений в первых гармониках, то ясно, что пифагорову терцию нельзя причислить к диссонансу наравне с малой секундой, где такие же биения происходят в первых гармониках.

Таким образом, мы выполнили обещание, данное на с. 130 и объяснили, почему пифагорова терция в гармоническом исполнении звучит напряженно по сравнению с чистой. Конечно, теория Гельмгольца не решает всех музыкальных загадок колеблющейся струны - таких как проблема 7-го обертона, например,- и здесь еще остается немало точек приложения для пытливого ума.

Не правда ли, какое удивительное разнообразие законов, свойств и загадок таит в себе простое колебание простой струны! Законы Пифагора - Архита (особенно "закон консонансов"), законы Мерсенна и законы Юнга, решения Д"Аламбера Д. Бернулли и Фурье, натуральный звукоряд и мажорное трезвучие, биения... Вот уже третье тысячелетие обыкновенная струна открывает человечеству свои необыкновенные тайны! И быть может, кто-то задумается следующий раз об этих тайнах, прежде чем ударить по струнам старенькой гитары.