Кривая или линия - геометрическое понятие, определяемое в разных разделах различно.

КРИВАЯ (линия), след, оставленный движущейся точкой или телом. Обычно кривую представляют лишь как плавно изгибающуюся линию, вроде параболы или окружности. Но математическое понятие кривой охватывает и прямую, и фигуры, составленные из отрезков прямых, например, треугольник или квадрат.

Кривые можно разделить на плоские и пространственные. Плоская кривая, например, парабола или прямая, образуется при пересечении двух плоскостей или плоскости и тела и поэтому целиком лежит в одной плоскости. Пространственную кривую, например, винтовую линию, имеющую форму спиральной пружины, нельзя получить как пересечение какой-нибудь поверхности или тела с плоскостью, и она не лежит в одной плоскости. Кривые можно также подразделить на замкнутые и открытые. Замкнутая кривая, например квадрат или окружность, не имеет концов, т.е. движущаяся точка, порождающая такую кривую, периодически повторяет свой путь.

Кривая есть геометрическое место, или множество, точек, удовлетворяющих некоторому математическому условию или уравнению.

Например, окружность – это геометрическое место точек плоскости, равноудаленных от данной точки. Кривые, определяемые алгебраическими уравнениями, называются алгебраическими кривыми.

Например, уравнение прямой y = mx + b, где m – угловой коэффициент, а b – отрезок, отсекаемый на оси y, – алгебраическое.

Кривые, уравнения которых содержат трансцендентные функции, например, логарифмы или тригонометрические функции, называются трансцендентными кривыми.

Например, y = log x и y = tg x – уравнения трансцендентных кривых.

Форму алгебраической кривой можно определить по степени ее уравнения, которая совпадает с наивысшей степенью членов уравнения.

Если уравнение первой степени, например Ax + By + C = 0, то кривая имеет форму прямой.

Если уравнение второй степени, например,

Ax 2 + By + C = 0 или Ax 2 + By 2 + C = 0, то кривая квадратична, т.е. представляет собой одно из конических сечений; к числу таких кривых относятся параболы, гиперболы, эллипсы и окружности.

Перечислим общие формы уравнений конических сечений:

x 2 + y 2 = r 2 - окружность,

x 2 /a 2 + y 2 /b 2 = 1 - эллипс,

y = ax 2 - парабола,

x 2 /a 2 – y 2 /b 2 = 1 - гипербола.

Кривые, соответствующие уравнениям третьей, четвертой, пятой, шестой и т.д. степеней, называются кривыми третьего, четвертого, пятого, шестого и т.д. порядка. Как правило, чем выше степень уравнения, тем больше изгибов будет у открытой кривой.

Многие сложные кривые получили специальные наименования.

Циклоидой называется плоская кривая, описываемая фиксированной точкой окружности, катящейся по прямой, называемой образующей циклоиды; циклоида состоит из серии повторяющихся дуг.

Эпициклоида – это плоская кривая, описываемая фиксированной точкой окружности, катящейся по другой неподвижной окружности вне ее.

Гипоциклоидой называется плоская кривая, описываемая фиксированной точкой окружности, катящейся изнутри по неподвижной окружности.

Спиралью называется плоская кривая, которая виток за витком раскручивается от неподвижной точки (или накручивается на нее).

Математики занимались изучением свойств кривых с глубокой древности, и названия многих необычных кривых связаны с именами тех, кто впервые их исследовал. Таковы, например, спираль Архимеда, локон Аньези, циссоида Диоклеса, кохоида Никомеда и лемниската Бернулли.

В рамках элементарной геометрии понятие кривой не получает отчётливой формулировки и иногда определяется как «длина без ширины» или как «граница фигуры». По существу в элементарной геометрии изучение кривых сводится к рассмотрению примеров (, , , и др.). Не располагая общими методами, элементарная геометрия довольно глубоко проникла в изучение свойств конкретных кривых (, некоторые и также ), применяя в каждом случае специальные приёмы.

Чаще всего кривая определяется как непрерывное отображение из отрезка в :

При этом, кривые могут быть различными, даже если их совпадают. Такие кривые называют параметризованными кривыми или, если [ a , b ] = , путями .

Иногда кривая определяется с точностью до , то есть с точностью до минимального отношения эквивалентности такого что параметрические кривые

эквивалентны, если существует непрерывная (иногда неубывающая) h из отрезка [a 1 ,b 1 ] на отрезок [a 2 ,b 2 ], такая что

Определяемые этим отношением называются или просто кривыми.

Аналитические определения

В курсах аналитической геометрии доказывается, что среди линий, записываемых в декартовых прямоугольных (или даже в общих аффинных) координатах общим уравнением второй степени

Ax 2 + 2Bxy + Cy 2 + 2Dx + 2Ey + F = 0

(где хотя бы один из коэффициентов A, B, C отличен от нуля) встречаются лишь следующие восемь типов линий:

а) эллипс;

б) гипербола;

в) парабола (невырожденные кривые второго порядка);

г) пара пересекающихся прямых;

д) пара параллельных прямых;

е) пара совпавших прямых (одна прямая);

ж) одна точка (вырожденные линии второго порядка);

з) "линия", совсем не содержащая точек.

Обратно, любая линия каждого из указанных восьми типов записывается в декартовых прямоугольных координатах некоторым уравнением второго порядка. (В курсах аналитической геометрии обычно говорят о девяти (а не о восьми) типах конических сечений, поскольку там различают "мнимый эллипс" и "пару мнимых параллельных прямых", - геометрически эти "линии" одинаковы, поскольку обе не содержат ни одной точки, но аналитически они записываются разными уравнениями.) Поэтому (вырожденные и невырожденные) конические сечения можно определить также как линии второго порядка.

В кривая на плоскости определяется как множество точек, координаты которых удовлетворяют уравнению F ( x , y ) = 0 . При этом на функцию F накладываются ограничения, которые гарантируют, что это уравнение имеет бесконечное множество несовпадающих решений и

это множество решений не заполняет «куска плоскости».

Алгебраические кривые

Важный класс кривых составляют те, для которых функция F ( x , y ) есть от двух переменных. В этом случае кривая, определяемая уравнением F ( x , y ) = 0 , называется .

Алгебраические кривые, задаваемые уравнением 1-й степени, суть .

Уравнение 2-й степени, имеющее бесконечное множество решений, определяет , то есть вырожденные и невырожденные .

Примеры кривых, задаваемых уравнениями 3-ей степени: , .

Примеры кривых 4-ой степени: и .

Пример кривой 6-ой степени: .

Пример кривой, определяемой уравнением чётной степени: (многофокусная) .

Алгебраические кривые, определяемые уравнениями высших степеней, рассматриваются в . При этом большую стройность приобретает их теория, если рассмотрение ведется на . В этом случае алгебраическая кривая определяется уравнением вида

F ( z 1 , z 2 , z 3 ) = 0 ,

где F - многочлен трех переменных, являющихся точек.

Типы кривых

Плоская кривая - кривая, все точки которой лежат в одной плоскости.

(простая линия или жорданова дуга, также контур) - множество точек плоскости или пространства, находящихся во взаимно однозначном и взаимно непрерывном соответствии с отрезками прямой.

Путь - отрезка в .

аналитические кривые, не являющиеся алгебраическими. Более точно - кривые, которые можно задать через линию уровня аналитической функции (или, в многомерном случае, системы функций).

Синусоида,

Циклоида,

Спираль Архимеда,

Трактриса,

Цепная линия,

Гиперболическая спираль и др.

1. Способы задания кривых:

аналитический – кривая задана математическим уравнением;

графический – кривая задана визуально на носителе графической информации;

табличный – кривая задана координатами последовательного ряда точек.

параметрический (наиболее общий способ задать уравнение кривой) :

где - гладкие функции параметра t , причем

(x ") 2 + (y ") 2 + (z ") 2 > 0 (условие регулярности).

Часто удобно использовать инвариантную и компактную запись уравнения кривой с помощью :

где в левой части стоит точек кривой, а правая определяет его зависимость от некоторого параметра t . Раскрыв эту запись в координатах, мы получаем формулу (1).

1. Циклоида.

История исследования циклоиды связана с именами таких великих учёных, философов, математиков и физиков, как Аристотель, Птолемей, Галилей, Гюйгенс, Торричелли и др.

Циклоида (от κυκλοειδής - круглый) - , которую можно определить как траекторию точки, лежащей на границе круга, катящегося без скольжения по прямой. Эту окружность называют порождающей.

Одним из древнейших способов образования кривых является кинематический способ, при котором кривая получается как траектория движения точки. Кривая, которая получается как траектория движения точки, закрепленной на окружности, катящейся без скольжения по прямой, по окруж­ности или другой кривой, называется циклоидальной, что в переводе с греческого языка означает кругообразная, напоминающая о круге.

Рассмотрим сначала случай, когда окружность катится по прямой. Кривая, которую описывает точка, закрепленная на окружности, катящейся без скольжения по прямой линии, называется циклоидой.

Пусть окружность радиуса R катится по прямой а. С – точка, закрепленная на окружности, в начальный момент времени находящаяся в по­ложении А (рис. 1). Отложим на прямой а отрезок АВ, равный длине окружности, т.е. АВ = 2 π R. Разделим этот отрезок на 8 равных частей точками А1, А2, ..., А8 = В.

Ясно, что когда окружность, катясь по прямой а, сделает один оборот, т.е. повернется на 360, то она займет положение (8), а точка С переместится из положения А в положение В.

Если окружность сделает половину полного оборота, т.е. повернется на 180, то она займет положение (4), а точка С переместится в самое верхнее положение С4.

Если окружность повернется на угол 45, то окружность переместится в положение (1), а точка С переместится в положение С1.

На рисунке 1 показаны также другие точки циклоиды, соответствующие оставшимся углам поворота окружности, кратным 45.

Соединяя плавной кривой построенные точки, получим участок циклоиды, соответствующий одному полному обороту окружности. При следующих оборотах будут получаться такие же участки, т.е. циклоида будет состоять из периодически повторяющегося участка, называемого аркой циклоиды.

Обратим внимание на положение касательной к циклоиде (рис. 2). Если велосипедист едет по мокрой дороге, то оторвавшиеся от колеса капли будут лететь по касательной к циклоиде и при отсутствии щитков могут забрызгать спину велосипедиста.

Первым, кто стал изучать циклоиду, был Галилео Галилей (1564 – 1642). Он же придумал и ее название.

Свойства циклоиды:

Циклоида обладает целым рядом замечательных свойств. Упомянем о некоторых из них.

Свойство 1. (Ледяная гора.) В 1696 году И.Бернулли поставил задачу о нахождении кривой наискорейшего спуска, или, иначе говоря, задачу о том, какова должна быть форма ледяной горки, чтобы, скатываясь по ней, совершить путь из начальной точки А в конечную точку В за кратчайшее время (рис. 3, а). Искомую кривую назвали "брахистохроной", т.е. кривой кратчайшего времени.

Ясно, что кратчайшим путем из точки A в точку B является отрезок AB. Однако при таком прямолинейном движении скорость набирается медленно и затраченное на спуск время оказывается большим (рис. 3, б).

Скорость набирается тем быстрее, чем круче спуск. Однако при крутом спуске удлиняется путь по кривой и тем самым увеличивается время его прохождения.

Среди математиков, решавших эту задачу, были: Г.Лейбниц, И.Ньютон, Г.Лопиталь и Я.Бернулли. Они доказали, что искомой кривой является перевернутая циклоида (рис. 3, а). Методы, развитые этими учеными при решении задачи о брахистохроне, положили начало новому направлению математики - вариационному исчислению.

Свойство 2. (Часы с маятником.) Часы с обычным маятником не могут идти точно, поскольку период колебаний маятника зависит от его амплитуды: чем больше амплитуда, тем больше период. Голландский ученый Христиан Гюйгенс (1629 – 1695) задался вопросом, по какой кривой должен двигаться шарик на нитке маятника, чтобы период его колебаний не зависел от амплитуды. Заметим, что в обычном маятнике кривой, по которой движется шарик, является окружность (рис. 4).

Искомой кривой оказалась перевернутая циклоида. Если, например, в форме перевернутой циклоиды изготовить желоб и пустить по нему шарик, то период движения шарика под действием силы тяжести не будет зависеть от начального его положения и от амплитуды (рис. 5). За это свойство циклоиду называют также "таутохрона" – кривая равных времен.

Гюйгенс изготовил две деревянные дощечки с краями в форме циклоиды, ограничивающие движение нити слева и справа (рис. 6). При этом сам шарик будет двигаться по перевернутой циклоиде и, таким образом, период его колебаний не будет зависеть от амплитуды.

Из этого свойства циклоиды, в частности следует, что независимо от того, с какого места ледяной горки в форме перевернутой циклоиды мы начнем спуск, на весь путь до конечной точки мы затратим одно и то же время.

Уравнение циклоиды

1.Уравнение циклоиды удобно записывать через α – угол поворота окружности, выраженный в радианах, заметим, что α также равняется пути, пройденному производящей окружностью по прямой.

x=rα – r sin α

y=r – r cos α

2.Примем горизонтальную ось координат в качестве прямой, по которой катится производящая окружность радиуса r .

Циклоида описывается параметрическими уравнениями

x = rt – r sin t ,

y = r – r cos t .

Уравнение в :

Циклоида может быть получена как решение дифференциального уравнения:

Из истории о циклоиде

Первым из учёных обратил внимание на циклоиду в , но серьёзное исследование этой кривой началось только в .

Первым, кто стал изучать циклоиду, был Галилео Галилей (1564-1642) – знаменитый итальянский астроном, физик и просветитель. Он же придумал название «циклоида», что значит: «напоминающая о круге». Сам Галилей о циклоиде ничего не писал, но о его работах в этом направлении упоминают ученики и последователи Галилея: Вивиани, Торичелли и другие. Торичелли – известный физик, изобретатель барометра – уделял немало времени и математике. В эпоху Возрождения не было узких ученых-специалистов. Талантливый человек занимался и философией, и физикой, и математикой и всюду получал интересные результаты и делал крупные открытия. Немного позже итальянцев за циклоиду принялись французы, назвавшие её «рулеттой» или «трохоидой». В 1634 году Роберваль – изобретатель известной системы весов системы весов – вычислил площадь, ограниченную аркой циклоиды и её основанием. Содержательное исследование циклоиды провёл современник Галилея . Среди , то есть кривых, уравнение которых не может быть записано в виде от x , y , циклоида - первая из исследуемых.

Писал о циклоиде:

Рулетта является линией столь обычной, что после прямой и окружности нет более часто встречающейся линии; она так часто вычерчивается перед глазами каждого, что надо удивляться тому, как не рассмотрели её древние… ибо это не что иное, как путь, описываемый в воздухе гвоздём колеса.

Новая кривая быстро завоевала популярность и подверглась глубокому анализу, в котором участвовали , , Ньютон, , братья Бернулли и другие корифеи науки XVII-XVIII веков. На циклоиде активно оттачивались методы появившегося в те годы . Тот факт, что аналитическое исследование циклоиды оказалось столь же успешным, как и анализ алгебраических кривых, произвёл большое впечатление и стал важным аргументом в пользу «уравнения в правах» алгебраических и трансцендентных кривых. Эпициклоида

Некоторые виды циклоид

Эпициклоида - траектория точки А, лежащей на окружности диаметра D, которая катится без скольжения по направляющей окружности радиуса R (касание внешнее).

Построение эпициклоиды выполняется в следующей последовательности:

Из центра 0 проводят вспомогательную дугу радиусом равным 000=R+r;

Из точек 01, 02, ...012, как из центров, проводят окружности радиуса r до пересечения с вспомогательными дугами в точках А1, А2, ... А12, которые принадлежат эпициклоиде.

Гипоциклоида

Гипоциклоида - траектория точки А, лежащей на окружности диаметра D, которая катится без скольжения по направляющей окружности радиуса R (касание внутреннее).

Построение гипоциклоиды выполняется в следующей последовательности:

Производящую окружность радиуса r и направляющую окружность радиуса R проводят так, чтобы они касались в точке А;

Производящую окружность делят на 12 равных частей, получают точки 1, 2, ... 12;

Из центра 0 проводят вспомогательную дугу радиусом равным 000=R-r;

Центральный угол a определяют по формуле a =360r/R.

Делят дугу направляющей окружности, ограниченную углом a, на 12 равных частей, получают точки 11, 21, ...121;

Из центра 0 через точки 11, 21, ...121 проводят прямые до пересечения с вспомогательной дугой в точках 01, 02, ...012;

Из центра 0 проводят вспомогательные дуги через точки деления 1, 2, ... 12 производящей окружности;

Из точек 01, 02, ...012, как из центров, проводят окружности радиуса r до пересечения с вспомогательными дугами в точках А1, А2, ... А12, которые принадлежат гипоциклоиде.

1. Кардиоида.

Кардиоида ( καρδία - сердце, Кардиоида является частным случаем Термин «кардиоида» введен Кастиллоном в 1741 году.

Если взять окружность и в качестве полюса точку на ней, то кардиоиду получим только в том случае, если откладывать отрезки, равные диаметру окружности. При других величинах откладываемых отрезков конхоидами будут удлиненные или укороченные кардиоиды. Эти удлиненные и укороченные кардиоиды называются иначе улитками Паскаля.

Кардиоида имеет различные применения в технике. В форме кардиоиды делают эксцентрики, кулачки у машин. Ею пользуются иногда при вычерчивании зубчатых колес. Кроме того, она применяется в оптической технике.

Свойства кардиоиды

Кардиоида - В М на подвижной окружности будет описывать замкнутую траекторию. Эта плоская кривая называется кардиоидой.

2)Кардиоиду можно получить и другим способом. Отметим на окружности точку О и проведем из нее луч. Если от точки А пересечения этого луча с окружностью отложить отрезок АМ, по длине равный диаметру окружности, и луч вращать вокруг точки О , то точка М будет двигаться по кардиоиде.

3)Кардиоида может быть также представлена как кривая, касающаяся всех окружностей, имеющих центры на данной окружности и проходящих через ее фиксированную точку. Когда построены несколько окружностей, кардиоида оказывается построенной как бы сама собой.

4)Есть еще столь же изящный, сколь, неожиданный способ увидеть кардиоиду. На рисунке можно увидеть точечный источник света на окружности. После того как лучи света отразятся в первый раз от окружности, они идут по касательной к кардиоиде. Представьте себе теперь, что окружность – это края чашки, в одной точке ее отражается яркая лампочка. В чашку налит черный кофе, позволяющий увидеть яркие отраженные лучи. Кардиоида в результате оказывается выделенной лучами света.

1. Астроида.

Астроида (от греч. astron - звезда и eidos - вид), плоская кривая, описываемая точкой окружности, которая касается изнутри неподвижной окружности вчетверо большего радиуса и катится по ней без скольжения. Принадлежит к гипоциклоидам. Астроида - алгебраическая кривая 6-го порядка.

Астроида.

Длина всей астроиды равна шести радиусам неподвижного круга, а площадь, ею ограниченная,- трем восьмым неподвижного круга.

Отрезок касательной к астроиде, заключенный между двумя взаимно перпендикулярными радиусами неподвижного круга, проведенными в острия астроиды, равен радиусу неподвижного круга, независимо от того, как была выбрана точка.

Свойства астроиды

Имеются четыре каспа .

Длина дуги от точки с 0 до огибающей

семейства отрезков постоянной длины, концы которых расположены на двух взаимно перпендикулярных прямых.

Астроида является 6-го порядка.

Уравнения астроиды

Уравнение в декартовых прямоугольных координатах: | x | 2 / 3 + | y | 2 / 3 = R 2 / 3 параметрическое уравнение: x = Rcos 3 t y = Rsin 3 t

Способ построения астроиды

Чертим две взаимно перпендикулярные прямые и проводим ряд отрезков длиною R , концы которых лежат на этих прямых. На рисунке изображено 12 таких отрезков (включая отрезки самих взаимно перпендикулярных прямых). Чем больше проведем отрезков, тем точнее получим кривую. Построим теперь огибающую всех этих отрезков. Этой огибающей будет астроида.

1. Заключение

В работе приведены примеры задач с различными видами кривых, определяемых различными уравнениями или удовлетворяющих некоторому математическому условию. В частности циклоидальные кривые, способы их задания, различные способы построения, свойства этих кривых.

Свойства циклоидальных кривых очень часто используется в механике в зубчатых передачах, что существенно повышает прочность деталей в механизмах.

«На второе был подан пирог в форме циклоиды..»

Дж. Свифт Путешествия Гулливера

Касательная и нормаль к циклоиде

Наиболее естественным определением окружности будет, пожалуй, следующее: «окружностью называется путь частицы твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси». Это определение наглядно, из него легко вывести все свойства окружности, а главное, оно сразу рисует нам окружность, как непрерывную кривую, чего вовсе не видно из классического определения окружности, как геометрического места точек плоскости, равноудаленных от одной точки.

Почему же в школе мы определяем окружность, к? к геометрическое место точек? Чем плохо определение окружности с помощью движения (вращения)? Подумаем об этом.

Когда мы изучаем механику, мы не занимаемся доказательством геометрических теорем: мы считаем, что уже знаем их - мы просто ссылаемся на геометрию, как на нечто уже известное.

Если и при доказательстве геометрических теорем мы будем ссылаться на механику, как на нечто уже известное, то сделаем ошибку, которая называется «логический (порочный) круг»: при доказательстве предложения мы ссылаемся на предложение В, а само предложение В обосновываем с помощью предложения А. Грубо говоря, Иван кивает на Петра, а Петр на Ивана. Такое положение при изложении научных дисциплин недопустимо. Поэтому стараются, излагая арифметику, не ссылаться на геометрию, излагая геометрию, не ссылаться на механику и т. д. При этом можно при изложении геометрии безбоязненно пользоваться арифметикой, а при изложении механики и арифметикой, и геометрией, логического круга не получится.

Определение циклоиды, с которым мы успели познакомиться, никогда не удовлетворяло ученых: ведь оно опирается на механические понятия - скорости, сложения движений и т. д. Поэтому геометры всегда стремились дать циклоиде чисто геометрическое определение. Но для того, чтобы дать такое определение, нужно прежде всего изучить основные свойства циклоиды, пользуясь ее механическим определением. Выбрав наиболее простое и характерное из этих свойств, можно положить его в основ) геометрического определения.

Начнем с изучения касательной и нормали к циклоиде. Что такое касательная к кривой линии, каждый представляет себе достаточно ясно; точно определение касательной дается в курсах высшей математики, и мы его приводить здесь не будем.

Рис. 16. Касательная и нормаль к кривой.

Нормалью называется перпендикуляр к касательной, восставленный в точке касания. На рис. 16 изображена касательная и нормаль к кривой АВ в ее точке Рассмотрим циклоиду (рис. 17). Кружок катится по прямой АВ.

Допустим, что вертикальный радиус круга, проходивший в начальный момент через нижнюю точку циклоиды, успел повернуться на угол (греческая буква «фи») и занял положение ОМ. Иными словами, мы считаем, что отрезок МСТ составляет такую долю отрезка какую угол составляет от 360° (от полного оборота). При этом точка пришла в точку М.

Рис. 17. Касательная к циклоиде.

Точка М и есть интересующая нас точка циклоиды.

Стрелочка ОН изображает скорость движения центра катящегося круга. Такой же горизонтальной скоростью обладают все точки круга, в том числе и точка М. Но, кроме того, точка М принимает участие во вращении круга. Скорость МС, которую точка М на окружности получает при этом вращении, направлена по касательной к окружности, т. е. перпендикулярно к радиусу ОМ. Мы уже знаем из «разговора двух веюсипедистов» (см. стр. 6), что скорость МС по величине равна скорости МР (т. е. скорости ОН). Поэтому параллелограмм скоростей в случае нашего движения будет ромбом (ромб МСКР на рис. 17). Диагональ МК этого ромба как раз и даст нам касательную к циклоиде.

Теперь мы можем ответить на вопрос, поставленный в конце беседы Сергея и Васи (стр. 7). Комок грязи, оторвавшийся от велосипедного колеса, движется по касательной к траектории той частицы колеса, от которой он отделился. Но траекторией будет не окружность, а циклоида, потому что колесо не просто вращается, а катится, т. е. совершает движение, состоящее из поступательного движения и вращения.

Все сказанное дает возможность решить следующую «задачу на построение»: дана направляющая прямая АВ циклоиды, радиус производящего круга и точка М, принадлежащая циклоиде (рис. 17).

Требуется построить касательную МК к циклоиде.

Имея точку М, мы без труда строим производящий круг, в том его положении, когда точка на окружности попадает в М, Для этого предварительно найдем центр О при помощи радиуса (точка О должна лежать на прямой, параллельной АВ на расстоянии от нее). Затем строим отрезок МР произвольной длины, параллельный направляющей прямой. Далее строим прямую перпендикулярную к ОМ На этой прямой откладываем от точки М отрезок МС, равный МР. На МС и МР, как на сторонах, строим ромб. Диагональ этого ромба и будет касательной к циклоиде в точке М.

Это построение - чисто геометрическое, хотя получили мы его, используя понятия механики. Теперь мы можем проститься с механикой и дальнейшие следствия получать без ее помощи. Начнем с простой теоремы.

Теорема 1. Угол между касательной к циклоиде (в произвольной точке) и направляющей прямой равен дополнению до 90° половины угла поворота радиуса производящего круга.

Иными словами, на нашем рис. 17 угол KLT равен или . Это равенство мы теперь докажем. Для сокращения речи условимся угол поворота радиуса производящего круга называть «основным углом». Значит, угол МОТ на рис. 17 - основной угол. Будем считать основной угол острым. Читатель сам видоизменит рассуждения для случая тупого угла, т. е. для случая, когда катящийся круг сделает больше четверти полного оборота.

Рассмотрим угол СМР. Сторона СМ перпендикулярна к ОМ (касательная к окружности перпендикулярна к радиусу). Сторона МР (горизонталь) перпендикулярна к ОТ (к вертикали). Но угол МОТ, по условию, острый (мы условились рассматривать первую четверть оборота), а угол СМР - тупой (почему?). Значит, углы МОТ и СМР составляют в сумме 180° (углы со взаимно перпендикулярными сторонами, из которых один острый, а другой - тупой).

Итак, угол СМР равен Но, как известно, диагональ ромба делит угол при вершине пополам.

Следовательно, угол что и требовалось доказать.

Обратим теперь внимание на нормаль к циклоиде. Мы говорили уже, что нормалью к кривой называется перпендикуляр к касательной, проведенный в точке касания (рис. 16). Изобразим левую часть рис. 17 крупнее, причем проведем нормаль (см. рис. 18).

Из рис. 18 следует, что угол ЕМР равен разности углов КМЕ и КМР, т. е. равен 90° - к. КМР.

Рис. 18. К теореме 2.

Но мы только что доказали, что сам угол КМР равен . Таким образом, получаем:

Мы доказали простую, но полезную теорему. Дадим ее формулировку:

Теорема 2. Угол между нормалью к циклоиде (в любой ее точке) и направляющей прямой равен половине «основного угла».

(Вспомним, что «основным углом» называется угол поворота радиуса катящегося круга)

Соединим теперь точку М («текущую» точку циклоиды) с «нижней» точкой (Т) производящего круга (с точкой касания производящего круга и направляющей прямой - см. рис. 18).

Треугольник МОТ, очевидно, равнобедренный (ОМ и ОТ - радиусы производящего круга). Сумма углов при основании этого треугольника равна , а каждый из углов при основании - половине этой суммы. Итак,

Обратим внимание на угол РМТ. Он равен разности углов ОМТ и ОМР. Мы видели сейчас, что равен 90° - что касается угла ОМР, то нетрудно выяснить, чему он равен. Ведь угол ОМР равен углу DOM (внутренние накрест лежащие углы при параллельных).

Рис. 19. Основные свойства касательной и нормали к циклоиде.

Непосредственно очевидно, что равен . Значит, . Таким образом, получаем:

Получается замечательный результат: угол РМТ оказывается равным углу РМЕ (см. теорему 2). Следовательно, прямые ME и МТ сольются! Наш рис. 18 сделан не совсем правильно! Правильное расположение линий дано на рис. 19.

Как же сформулировать полученный результат? Мы сформулируем его в виде теоремы 3.

Теорема 3 (первое основное свойство циклоиды). Нормаль к циклоиде проходит через «нижнюю» точку производящего круга.

Из этой теоремы получается простое следствие. Угол между касательной и нормалью, по определению, - прямой. Это угол, вписанный в окружность

Поэтому он должен опираться на диаметр круга. Итак, - диаметр, и - «верхняя» точка производящего круга. Сформулируем полученный результат.

Следствие (второе основное свойство циклоиды). Касательная к циклоиде проходит через «верхнюю» точку производящего круга.

Воспроизведем теперь построение циклоиды по точкам, как мы это делали на рис. 6.

Рис. 20. Циклоида - огибающая своих касательных.

На рис. 20 основание циклоиды разделено на 6 равных частей; чем число делений будет больше, тем, как мы знаем, чертеж получится точнее. В каждой точке циклоиды, построенной нами, проведем касательную, соединяя точку кривой с «верхней» точкой производящего круга. На нашем чертеже получилось семь касательных (из них две - вертикальные). Проводя теперь циклоиду от руки, будем заботиться, чтобы она действительно касалась каждой из этих касательных: это значительно увеличит точность чертежа. При этом сама циклоида будет огибать все эти касательные

Проведем на том же рис. 20 нормали во всех найденных точках циклоиды. Всего будет, не считая направляющей, пять нормалей. Можно построить от руки сгибающую этих нормалей.

Если бы мы вместо шести взяли 12 или 16 точек деления, то нормалей на чертеже было бы больше, и огибающая наметилась бы ясней. Такая огибающая всех нормалей играет важную роль при изучении свойств любой кривой линии. В случае циклоиды обнаруживается любопытный факт: огибающей нормалей циклоиды служит точно такая же циклоида, только сдвинутая на 2а вниз и на на вправо. С этим любопытным результатом, характерным именно для циклоиды, нам еще придется иметь дело.

Свойства касательной и нормали к циклоиде были впервые изложены Торичелли (1608-1647) в его книге «Геометрические работы» (1644 год). Торичелли использовал при этом сложение движений. Несколько позже, но полнее, разобрал эти вопросы Роберваль (псевдоним французского математика Жилля Персонна, 1602-1672). Свойства касательной к циклоиде изучал также Декарт; он изложил свои результаты, не прибегая к помощи механики.

Помни-те оран-же-вые пласт-мас-со-вые ка-та-фо-ты - све-то-от-ра-жа-те-ли, при-креп-ля-ю-щи-е-ся к спи-цам ве-ло-си-пед-но-го ко-ле-са? При-кре-пим ка-та-фот к са-мо-му обо-ду ко-ле-са и про-сле-дим за его тра-ек-то-ри-ей . По-лу-чен-ные кри-вые при-над-ле-жат се-мей-ству цик-ло-ид.

Ко-ле-со при этом на-зы-ва-ет-ся про-из-во-дя-щим кру-гом (или окруж-но-стью) цик-ло-и-ды.

Но да-вай-те вер-нём-ся в наш век и пе-ре-ся-дем на бо-лее совре-мен-ную тех-ни-ку. На пу-ти бай-ка по-пал-ся ка-му-шек, ко-то-рый за-стрял в про-тек-то-ре ко-ле-са. Про-вер-нув-шись несколь-ко кру-гов с ко-ле-сом, ку-да по-ле-тит ка-мень, ко-гда вы-ско-чит из про-тек-то-ра? Про-тив на-прав-ле-ния дви-же-ния мо-то-цик-ла или по на-прав-ле-нию?

Как из-вест-но, сво-бод-ное дви-же-ние те-ла на-чи-на-ет-ся по ка-са-тель-ной к той тра-ек-то-рии, по ко-то-рой оно дви-га-лось. Ка-са-тель-ная к цик-ло-и-де все-гда на-прав-ле-на по на-прав-ле-нию дви-же-ния и про-хо-дит через верх-нюю точ-ку про-из-во-дя-щей окруж-но-сти. По на-прав-ле-нию дви-же-ния по-ле-тит и наш ка-му-шек.

Помни-те, как Вы ка-та-лись в дет-стве по лу-жам на ве-ло-си-пе-де без зад-не-го кры-ла? Мок-рая по-лос-ка на ва-шей спине яв-ля-ет-ся жи-тей-ским под-твер-жде-ни-ем толь-ко что по-лу-чен-но-го ре-зуль-та-та.

Век XVII - это век цик-ло-и-ды. Луч-шие учё-ные изу-ча-ли её уди-ви-тель-ные свой-ства.

Ка-кая тра-ек-то-рия при-ве-дёт те-ло, дви-жу-ще-е-ся под дей-стви-ем си-лы тя-же-сти, из од-ной точ-ки в дру-гую за крат-чай-шее вре-мя ? Это бы-ла од-на из пер-вых за-дач той на-у-ки, ко-то-рая сей-час но-сит на-зва-ние ва-ри-а-ци-он-ное ис-чис-ле-ние.

Ми-ни-ми-зи-ро-вать (или мак-си-ми-зи-ро-вать) мож-но раз-ные ве-щи - дли-ну пу-ти, ско-рость, вре-мя. В за-да-че о бра-хи-сто-хроне ми-ни-ми-зи-ру-ет-ся имен-но вре-мя (что под-чёр-ки-ва-ет-ся са-мим на-зва-ни-ем: греч. βράχιστος - наи-мень-ший, χρόνος - вре-мя).

Пер-вое, что при-хо-дит на ум, - это пря-мо-ли-ней-ная тра-ек-то-рия. Да-вай-те так-же рас-смот-рим пе-ре-вёр-ну-тую цик-ло-и-ду с точ-кой воз-вра-та в верх-ней из за-дан-ных то-чек. И, сле-дуя за Га-ли-лео Га-ли-ле-ем, - чет-вер-тин-ку окруж-но-сти , со-еди-ня-ю-щую на-ши точ-ки.

По-че-му же Га-ли-лео Га-ли-лей рас-смат-ри-вал чет-вер-тин-ку окруж-но-сти и счи-тал, что это наи-луч-шая в смыс-ле вре-ме-ни тра-ек-то-рия спус-ка? Он впи-сы-вал в неё ло-ма-ные и за-ме-тил, что при уве-ли-че-нии чис-ла зве-ньев вре-мя спус-ка умень-ша-ет-ся. От-сю-да Га-ли-лей есте-ствен-ным об-ра-зом пе-ре-шёл к окруж-но-сти, но сде-лал невер-ный вы-вод, что эта тра-ек-то-рия наи-луч-шая сре-ди всех воз-мож-ных. Как мы ви-де-ли, наи-луч-шей тра-ек-то-ри-ей яв-ля-ет-ся цик-ло-и-да.

Через две дан-ные точ-ки мож-но про-ве-сти един-ствен-ную цик-ло-и-ду с усло-ви-ем, что в верх-ней точ-ке на-хо-дит-ся точ-ка воз-вра-та цик-ло-и-ды. И да-же ко-гда цик-ло-и-де при-хо-дит-ся под-ни-мать-ся, чтобы прой-ти через вто-рую точ-ку, она всё рав-но бу-дет кри-вой наи-ско-рей-ше-го спус-ка !

Ещё од-на кра-си-вая за-да-ча, свя-зан-ная с цик-ло-и-дой, - за-да-ча о та-у-то-хроне. В пе-ре-во-де с гре-че-ско-го ταύτίς озна-ча-ет «тот же са-мый», χρόνος, как мы уже зна-ем - «вре-мя».

Сде-ла-ем три оди-на-ко-вые гор-ки с про-фи-лем в ви-де цик-ло-и-ды, так, чтобы кон-цы го-рок сов-па-да-ли и рас-по-ла-га-лись в вер-шине цик-ло-и-ды . По-ста-вим три бо-ба на раз-ные вы-со-ты и да-дим от-маш-ку. Уди-ви-тель-ней-ший факт - все бо-бы при-едут вниз од-новре-мен-но !

Зи-мой Вы мо-же-те по-стро-ить во дво-ре гор-ку изо льда и про-ве-рить это свой-ство вжи-вую.

За-да-ча о та-у-то-хроне со-сто-ит в на-хож-де-нии та-кой кри-вой, что, на-чи-ная с лю-бо-го на-чаль-но-го по-ло-же-ния, вре-мя спус-ка в за-дан-ную точ-ку бу-дет оди-на-ко-вым.

Хри-сти-ан Гюй-генс до-ка-зал, что един-ствен-ной та-у-то-хро-ной яв-ля-ет-ся цик-ло-и-да.

Ко-неч-но же, Гюй-ген-са не ин-те-ре-со-вал спуск по ле-дя-ным гор-кам. В то вре-мя учё-ные не име-ли та-кой рос-ко-ши за-ни-мать-ся на-у-ка-ми из люб-ви к ис-кус-ству. За-да-чи, ко-то-рые изу-ча-лись, ис-хо-ди-ли из жиз-ни и за-про-сов тех-ни-ки то-го вре-ме-ни. В XVII ве-ке со-вер-ша-ют-ся уже даль-ние мор-ские пла-ва-ния. Ши-ро-ту мо-ря-ки уме-ли опре-де-лять уже до-ста-точ-но точ-но, но уди-ви-тель-но, что дол-го-ту не уме-ли опре-де-лять со-всем. И один из пред-ла-гав-ших-ся спо-со-бов из-ме-ре-ния ши-ро-ты был ос-но-ван на на-ли-чии точ-ных хро-но-мет-ров.

Пер-вым, кто за-ду-мал де-лать ма-ят-ни-ко-вые ча-сы, ко-то-рые бы-ли бы точ-ны, был Га-ли-лео Га-ли-лей. Од-на-ко в тот мо-мент, ко-гда он на-чи-на-ет их ре-а-ли-зо-вы-вать, он уже стар, он слеп, и за остав-ший-ся год сво-ей жиз-ни учё-ный не успе-ва-ет сде-лать ча-сы. Он за-ве-ща-ет это сы-ну, од-на-ко тот мед-лит и на-чи-на-ет за-ни-мать-ся ма-ят-ни-ком то-же лишь пе-ред смер-тью и не успе-ва-ет ре-а-ли-зо-вать за-мы-сел. Сле-ду-ю-щей зна-ко-вой фигу-рой был Хри-сти-ан Гюй-генс.

Он за-ме-тил, что пе-ри-од ко-ле-ба-ния обыч-но-го ма-ят-ни-ка, рас-смат-ри-вав-ше-го-ся Га-ли-ле-ем, за-ви-сит от из-на-чаль-но-го по-ло-же-ния, т.е. от ам-пли-ту-ды. За-ду-мав-шись о том, ка-ко-ва долж-на быть тра-ек-то-рия дви-же-ния гру-за, чтобы вре-мя ка-че-ния по ней не за-ви-се-ло от ам-пли-ту-ды, он ре-ша-ет за-да-чу о та-у-то-хроне. Но как за-ста-вить груз дви-гать-ся по цик-ло-и-де ? Пе-ре-во-дя тео-ре-ти-че-ские ис-сле-до-ва-ния в прак-ти-че-скую плос-кость, Гюй-генс де-ла-ет «щёч-ки», на ко-то-рые на-ма-ты-ва-ет-ся ве-рев-ка ма-ят-ни-ка, и ре-ша-ет ещё несколь-ко ма-те-ма-ти-че-ских за-дач. Он до-ка-зы-ва-ет, что «щёч-ки» долж-ны иметь про-филь той же са-мой цик-ло-и-ды, тем са-мым по-ка-зы-вая, что эво-лю-той цик-ло-и-ды яв-ля-ет-ся цик-ло-и-да с те-ми же па-ра-мет-ра-ми.

Кро-ме то-го, пред-ло-жен-ная Гюй-ген-сом кон-струк-ция цик-ло-и-даль-но-го ма-ят-ни-ка поз-во-ля-ет по-счи-тать дли-ну цик-ло-и-ды. Ес-ли си-нюю ни-точ-ку, дли-на ко-то-рой рав-на че-ты-рём ра-ди-у-сам про-из-во-дя-ще-го кру-га, мак-си-маль-но от-кло-нить, то её ко-нец бу-дет в точ-ке пе-ре-се-че-ния «щёч-ки» и цик-ло-и-ды-тра-ек-то-рии, т.е. в вер-шине цик-ло-и-ды-«щёч-ки». Так как это по-ло-ви-на дли-ны ар-ки цик-ло-и-ды, то пол-ная дли-на рав-на вось-ми ра-ди-у-сам про-из-во-дя-ще-го кру-га.

Хри-сти-ан Гюй-генс сде-лал цик-ло-и-даль-ный ма-ят-ник, и ча-сы с ним про-хо-ди-ли ис-пы-та-ния в мор-ских пу-те-ше-стви-ях, но не при-жи-лись. Впро-чем, так же, как и ча-сы с обыч-ным ма-ят-ни-ком для этих це-лей.

От-че-го же, од-на-ко, до сих пор су-ще-ству-ют ча-со-вые ме-ха-низ-мы с обык-но-вен-ным ма-ят-ни-ком? Ес-ли при-гля-деть-ся, то при ма-лых от-кло-не-ни-ях, как у крас-но-го ма-ят-ни-ка, «щёч-ки» цик-ло-и-даль-но-го ма-ят-ни-ка по-чти не ока-зы-ва-ют вли-я-ния. Со-от-вет-ствен-но, дви-же-ние по цик-ло-и-де и по окруж-но-сти при ма-лых от-кло-не-ни-ях по-чти сов-па-да-ют.

ЛЕМНИСКАТЫ
Уравнение в полярных координатах:
r 2 = a 2 cos2θ

(x 2 + y 2) 2 = a 2 (x 2 - y 2)

Угол между AB" или A"B и осью x = 45 o

Площадь одной петли = a 2 /2

ЦИКЛОИДА

Площадь одной дуги = 3πa 2

Длина дуги одной арки = 8a

Это кривая, описываемая точкой Р на окружности радиусом а, которая катится вдоль оси х.

ГИПОЦИКЛОИДЫ С ЧЕТЫРЬМЯ ОСТРИЯМИ
Уравнение в прямоугольных координатах:
x 2/3 + y 2/3 = a 2/3

Уравнения в параметрической форме:

Площадь, ограниченная кривой = 3πa 2 /8

Длина дуги целой кривой = 6a

Это кривая, описываемая точкой Р на окружности радиусом a/4, которая катится внутри окружности радиусом a.

КАРДИОИДА
Уравнение: r = a(1 + cosθ)

Площадь, ограниченная кривой = 3πa 2 /2

Длина дуги кривой = 8a

Это кривая, описываемая точкой Р на окружности радиусом a, которая катится снаружи окружности радиусом a. Эта кривая также является частным случаем улитки Паскаля.

ЦЕПНАЯ ЛИНИЯ
Уравнение:
y = a(e x/a + e -x/a)/2 = acosh(x/a)

Это кривая, по которой бы повисла цепь, подвешенная вертикально от точки А к В.

ТРЕХЛЕПЕСТКОВАЯ РОЗА
Уравнение: r = acos3θ

Уравнение r = acos3θ подобно кривой, полученной вращением против часовой стрелки по кривой 30 o или π/6 радиан.

В общем, r = acosnθ или r = asinnθ имеет n лепестков если n является нечетным.

ЧЕТЫРЕХЛЕПЕСТКОВАЯ РОЗА
Уравнение: r = acos2θ

Уравнение r = asin2θ подобно кривой, полученной вращением против часовой стрелки по кривой 45 o или π/4 радиан.

В общем r = acosnθ или r = asinnθ имеет 2n лепестков если n - четное.

ЭПИЦИКЛОИДА
Параметрические уравнения:

Это кривая, описываемая точкой Р на окружности радиуса b, когда она катится по внешней стороне окружности радиусом а. Кардиоида является частным случаем эпициклоиды.

ОБЩАЯ ГИПОЦИКЛОИДА
Параметрические уравнения:

Это кривая, описываемая точкой Р на окружности радиуса b, когда она катится по внешней стороне окружности радиусом а.

Если b = a/4, кривая является гипоциклоидой с четырьмя остриями.

ТРОХОИДА
Параметрические уравнения:

Это кривая, описываемая точкой Р на дистанции b от центра окружности с радиусом а, когда она катится по оси x.
Если b укороченной циклоидой.
Если b > a, кривая имеет форму, показанную на рис. 11-11 и называется троходой.
Если b = a, кривая есть циклоидой.

ТРАКТРИСА
Параметрические уравнения:

Это кривая, описываемая конечной точкой Р натянутой струны длиной PQ, когда другой конец Q перемещается вдоль оси х.

ВЕРЗЬЕРА (ВЕРЗИЕРА) АНЬЕЗИ (ИНОГДА ЛОКОН АНЬЕЗИ)
Уравнение в прямоугольных координатах: y = 8a 3 /(x 2 + 4a 2)

Параметрические уравнения:

В. На рисунке переменная линия OA пересекающая y = 2a и круг с радиусом a с центром (0,a) в A и B соотвественно. Любая точка P на "локоне" определяется построением линий, параллельных к осям x и y, и через B и A соответственно и определяющие точку пересечения P.

ДЕКАРТОВ ЛИСТ
Уравнение в прямоугольных координатах:
x 3 + y 3 = 3axy

Параметрические уравнения:

Площадь петли 3a 2 /2

Уравнение асимптоты: x + y + a = 0.

ЭВОЛЬВЕНТА ОКРУЖНОСТИ
Параметрические уравнения:

Эта кривая, описанная конечной точкой P струны, когда она разматывается с круга с радиусом a.

ЭВОЛЬВЕНТА ЭЛЛИПСА
Уравнение в прямоугольных координатах:
(ax) 2/3 + (by) 2/3 = (a 2 - b 2) 2/3

Параметрические уравнения:

Эта кривая является огибающей нормалью к эллипсу x 2 /a 2 + y 2 /b 2 = 1.

ОВАЛЫ КАССИНИ
Полярное уравнение: r 4 + a 4 - 2a 2 r 2 cos2θ = b 4 .

Это кривая, описываемая такой точкой P, что произведение ее расстояния от двух фиксированных точек [ расстояние 2a в сторону] есть постоянной b 2 .

Кривая, как на фигурах внизу, когда b a соответственно.

Если b = a, кривая есть лемниската

УЛИТКА ПАСКАЛЯ
Полярное уравнение: r = b + acosθ

Пусть OQ будет линией, соединяющей центр O с любой точкой Q на окружности диаметром a проходящей через O. Тогда кривая есть фокусом всех точек P, таких, что PQ = b.

Кривая, показанная на рисунках внизу когда b > a или b

ЦИССОИДА ДИОКЛА
Уравнение в прямоугольных координатах: y 2 = x 3 /(2a - x)

Параметрические уравнения:

Это кривая, описываемая такой точкой P, что расстояние OP = расстоянию RS. Используется в задаче удвоения куба , т.e. нахождения стороны куба, который имеет удвоенный объем заданного куба

СПИРАЛЬ АРХИМЕДА
Полярное уравнение: r = aθ

Цикломида (от греч.кхклпейдЮт -- круглый) -- плоская трансцендентная кривая. Циклоида определяется кинематически как траектория фиксированной точки производящей окружности радиуса r, катящейся без скольжения по прямой.

Уравнения

Примем горизонтальную ось координат в качестве прямой, по которой катится производящая окружность радиуса r.

· Циклоида описывается параметрическими уравнениями

Уравнение в декартовых координатах:

· Циклоида может быть получена как решение дифференциального уравнения:

Свойства

• · Циклоида -- периодическая функция по оси абсцисс, с периодом 2рr. За границы периода удобно принять особые точки (точки возврата) вида t = 2рk, где k -- произвольное целое число.
• · Для проведения касательной к циклоиде в произвольной её точке A достаточно соединить эту точку с верхней точкой производящей окружности. Соединив A с нижней точкой производящей окружности, мы получим нормаль.
• · Длина арки циклоиды равна 8r. Это свойство открыл Кристофер Рен (1658).
• · Площадь под каждой аркой циклоиды втрое больше, чем площадь порождающего круга. Торричелли уверяет, что этот факт был открыт Галилеем.
• · Радиус кривизны у первой арки циклоиды равен.

• · «Перевёрнутая» циклоида является кривой скорейшего спуска (брахистохроной). Более того, она имеет также свойство таутохронности: тяжёлое тело, помещённое в любую точку арки циклоиды, достигает горизонтали за одно и то же время.
• · Период колебанийматериальной точки, скользящей по перевёрнутой циклоиде, не зависит от амплитуды, этот факт был использован Гюйгенсом для создания точных механических часов.
• · Эволюта циклоиды является циклоидой, конгруэнтной исходной, а именно -- параллельно сдвинутой так, что вершины переходят в «острия».
• · Детали машин, которые совершают одновременно равномерное вращательное и поступательное движение, описывают циклоидальные кривые (циклоида, эпициклоида, гипоциклоида, трохоида, астроида) (ср. построение лемнискаты Бернулли).