Задачи на построение циркулем и линейкой и сегодня считаются математически весьма интересными. Уже более ста лет это традиционный материал школьного курса геометрии. Одной из самых ценных сторон таких задач является то, что они развивают поисковые навыки решения практических проблем, приобщают к самостоятельным исследованиям, способствуют выработке конкретных геометрических представлений. Задачи на построение вызывают интерес, способствуют активизации мыслительной и познавательной деятельности. При их решении активно используются знания о свойствах фигур, совершенствуются навыки геометрических построений. В результате развиваются конструктивные способности, что является одной из целей изучения геометрии.

Круг задач, рассматриваемых в геометрии, очень широк. Среди них особое место занимают задачи на построение, которые способствуют развитию определенности, последовательности и обоснованности мышления. На этих задачах можно научиться таким методам познания, как анализ и синтез.

Тема урока: Деление угла циркулем и линейкой.

Класс: 7 (углубленное изучение)

Тип урока: урок изучения нового материала. Методы и приёмы ведения урока:

• фронтальная работа с классом;
• закрепление: работа учащихся в парах по карточкам.

Цели урока:

Обучающая: обеспечить усвоение нового материала, проверка знания учащимися фактического материала по теме «Задачи на построение циркулем и линейкой»; умений учащихся самостоятельно применять знания в измененных нестандартных условиях.

Развивающая: Развивать мышление учащихся при решении задач, выходящих за рамки школьного курса; развивать умение анализировать, сравнивать, делать выводы; развивать память учащихся.

Воспитательная: воспитание у учащихся интереса к предмету, доброжелательности, умения работать в коллективе и в парах.

Оборудование:

• интерактивная доска или проектор;
• рабочая карточка для каждого ученика (Приложение);
• презентация Деление угла циркулем и линейкой .

Задачи урока:

1. повторить основные построения циркулем и линейкой;
2. рассмотреть возможность деления угла на равных углов;
3. отработать навык построения биссектрисы угла, равностороннего треугольника.

Ход урока

I. Организационный момент

II. Постановка цели и задач урока.

Ребята должны

знать: стандартные построения циркулем и линейкой,

уметь: 1) строить биссектрису угла, равносторонний треугольник; 2) применять стандартные построения при решении задач на деление угла циркулем и линейкой.

III. Актуализация опорных знаний

На экране появляются слайды, на которых последовательность шагов. Ученикам необходимо определить какую задачу на построение описывает данная последовательность шагов.

Задание 1:

1. АВ – прямая.
2. Проведем окр.(А;АВ) С – точка пересечения окружности и прямой АВ.
3. Проведем окр.(С;R) и окр.(В;R) Р – точка пересечения окружностей.
4. Проведем СР.

Ответ: построение прямого угла

Задание 2:

1. АВ – отрезок.
2. Проведем окр.(А;R) и окр.(В;R) Р, Н – точки пересечения окружностей.
3. Проведем РН, получим точку О на АВ.

Ответ: построение серединного перпендикуляра РН к АВ

Задание 3:

1. Проведем окр.(А;R) Р, Н – точки пересечения окружности и сторон угла.
2. Проведем окр.(Р;РН) и окр.(Н;РН) К – точка пересечения окружностей.
3. Проведем АК.

Ответ: построение биссектрисы угла

Задание 4:

1. АВ – отрезок.
2. Проведем окр.(А;АВ) и окр.(В;АВ) С – точка пересечения окружностей.
3. Проведем АС и ВС

Ответ: построение равностороннего треугольника

IV. Изучение нового материала

Учитель: Сегодня нам необходимо определить всегда ли выполнимо «Деление данного угла на равных углов».

Учитель: Как вы считаете, какое стандартное построение позволит нам выполнить деление угла на 2, 4, 8, 16, … равных угла?

Ответ: Построение биссектрисы угла позволяет разделить любой угол на 2, 4, 8, … 2n равных углов. В каждом случае задача сводится к построению биссектрис полученных углов, что выполнимо всегда циркулем и линейкой. Например, разделить угол АВС на 4 равных угла. Строим биссектрису ВК угла АВС, получаем угол АВК= углу СВК= угол АВС:2. Строим биссектрисы ВР и ВМ углов АВК и CDR соответственно. Получаем: углы АВР= РВК= МВК= СВМ= АВК:2= АВС:4.

Учитель: Можно ли разделить произвольный угол на 3 равных угла?

Историческая справка. Можно дать задание ученикам подготовить небольшой доклад на тему трисекции угла. Трисекция угла. Искусство построения геометрических фигур при помощи циркуля и линейки было в высокой степени развито в Древней Греции. Знаменитой была в древности задача о трисекции угла (о разделении угла на три равные части с помощью циркуля и линейки). Любой угол невозможно разделить на три равных части с помощью только циркуля и линейки. Попытки решения задачи с помощью инструментов и средств были предприняты еще в V в. до н.э. Французский математик П. Ванцель в 1837г. первым строго доказал, что невозможно осуществить трисекцию циркулем и линейкой.

Задача о трисекции угла становится разрешимой и общем случае, если не ограничиваться в геометрических построениях одними только классическими инструментами, циркулем и линейкой. Так, например, Гиппий Элидский, знаменитый софист, живший около 420 г. до н.э., пользовался для трисекции угла квадратрисой. Александрийский математик Никомед (II в. до н.э.) решил задачу о трисекции угла с помощью одной кривой, названной конхоидой Никомеда, и дал описание прибора для черчения этой кривой. Интересное решение задачи о трисекции угла дал Архимед в своей книге «Леммы».

Задача о трисекции угла оказывается разрешимой и при некоторых других частных значениях угла: 90, 45, 135 (в градусах). Деление прямого угла на три равные части умели производить ещё пифагорейцы, основываясь на том, что в равностороннем треугольнике каждый угол равен 60 градусов.

Учитель: На интерактивной доске приведено решение задачи.

1. Рассмотрите решение данной задачи.
2. Определите основные построения.
3. Докажите, что данные шаги приведут к необходимому результату.

Задача 1: Трисекция прямого угла.

Пусть требуется разделить на три равные части прямой угол MAN. Откладываем на луче АN произвольный отрезок АК, на котором строим равносторонний треугольник AКB. Так как угол КAB равен 60 градусов, то угол МАВ = 30 градусов. Построим биссектрису угла КАВ, получаем искомое деление прямого угла MAN на три равных угла.

Ответы:

2. Построение равностороннего треугольника, построение биссектрисы угла.

3. Доказательство: угол MAN=90 градусов. Треугольник AКB – равносторонний, угол КAB = 60 градусов. Значит, угол МАВ= угол MAN – угол КAB = 30 градусов. АР – биссектриса угла КАВ, значит угол КАР= углу РАВ=30 градусов. Получаем, что угол КАР=уголу РАВ=углу МАВ =30 градусов, т.е. искомое деление прямого угла MAN на три равных угла.

Учитель: В рабочей тетради выполните построение трисекции прямого угла, опи-сав все этапы «Построения». Обязательно написать «Доказательство».

Учитель: Какие углы всегда можно построить с помощью циркуля и линейки?

Ответ: углы: 60 градусов – угол в равностороннем треугольнике, 30 градусов – биссектриса угла в равностороннем треугольнике, 45 градусов – биссектриса прямого угла, 15 градусов – биссектриса угла 30 градусов, 90 градусов – перпендикуляр к прямой, 180 градусов – точка на прямой.

Учитель: Можно ли разделить произвольный угол на 5, 7, 11, … равных углов?

Учитель: Данная задача оказывается разрешимой при некоторых частных значениях угла. Например: циркулем и линейкой можно выполнить следующее построение (при условии, что заданные углы уже построены и их величина известна):

Задача 2: Разделить угол 66 градусов на 11 равных частей (при условии, что этот угол построен и его величина известна).

Решение: Т.к. 66 градусов: 11=6 градусов, то для решения этой задачи опять воспользуемся углом 60 градусов – равносторонним треугольником. При построении равностороннего треугольника получаем 66 градусов–60 градусов = 6 градусов, строим дважды по углу 6 градусов (60–6–6 = 48 градусов), затем делим угол 48 градусов на 8 равных углов (т.е. проводим биссектрисы). При этом получаем 11 углов по 6 градусов.

При рассмотрении данной задачи учитель задает наводящие вопросы и подводит ребят к решению задачи. Решение задачи записывается в рабочую тетрадь.

V. Физкультминутка Учитель проводит с учащимися упражнения для расслабления глаз.

V. Закрепление изученного материала – самостоятельная работа в парах

Учитель: Каждый ученик получает карточку с задачами (Приложение). У учеников, сидящих за одной партой, одинаковый вариант заданий. Работу ученики выполняют в паре, но каждый оформляет решение на своей карточке.

Оценка за работу на карточке (учитель озвучивает перед началом работы):

«5» - за 3 правильно выполненные и оформленные задачи.

«4» - за 2 правильно выполненные и оформленные задачи или за 3 задачи с недочетами в оформлении.

«3» - за 1 правильно выполненную и оформленную задачу или за 2 задачи с недочетами в оформлении.

Решение задач самостоятельной работы:

Задача 1: Трисекция угла в 45 градусов.

Решение данной задачи сводится к построению равностороннего треугольника. Пусть требуется разделить на три равные части угол MAN=45 градусов. Откладываем на луче АN произвольный отрезок АК, на котором строим равносторонний треугольник AКB в одной полуплоскости с точкой М относительно прямой АК. Строим биссектрису АР угла КАВ, затем биссектрису АС угла РАК и получаем искомое деление угла MAN на три равных угла углы МАР=РАС=САК=15 градусов.

Доказательство: Т.к. треугольник АКВ – равносторонний, то угол КАВ=60 градусов. АР – биссектриса угла КАВ, значит углы ВАР= РАК=30 градусов и угол МАР=угол МАК– угол РАК = 45 градусов – 30 градусов = 15 градусов. АС – биссектриса угла РАК, значит углы РАС= САК=15 градусов. Значит, углы МАР=РАС=САК=15 градусов.

Задача 2 (1 вариант): Разделить угол 50 градусов на 10 равных углов.

Решение: Т.к. 50: 5=10, то для решения этой задачи воспользуемся углом 60 градусов – равносторонним треугольником. Получаем 1) 60–50 = 10 , 2) 50–10= 40, 3) 40: 4=10(в градусах).

Задача 2 (2 вариант): Разделить угол 720 на 6 равных углов.

Решение: Т.к. 72: 6=12, то для решения этой задачи воспользуемся углом 60 – равносторонним треугольником. Получаем 1) 72–60 = 12, 2) 60–12= 48, 3) 48: 4=12 (в градусах).

Задача 3: Разделить угол на 4 равных угла.

Решение: Разделить угол АВС на 4 равных угла. Строим биссектрису ВК угла АВС, получаем углы АВК= СВК=угол АВС:2. Строим биссектрисы ВР и ВМ углов АВК и CDR соответственно. Получаем: углы АВР=РВК=МВК=СВМ= угол АВК:2= угол АВС:4.

VI. Домашняя работа

Дома. Решить задачи:

1.Трисекция угла в 135 градусов.

2.Построить угол 53 градуса, если построен угол 104 градуса.

VII. Итог урока

Ответить на вопросы:

1.Всегда ли выполнима трисекция угла?

Только в некоторых частных случаях: 450, 900.

2.Что нового узнали на уроке?

Всегда можно построить циркулем и линейкой:

1) угла в n раз больше данного угла.

2) разделить любой угол на 2, 4, 8, … 2n равных углов.

3) углы: 60, 30, 45, 15, 90, 180 (в градусах).

4) можно разделить некоторые заданные углы на данное количество равных углов или построить угол необходимой величины.

3.Можно ли разделить произвольный угол на 5, 7, 11, … равных углов?

Нет. Только в некоторых частных случаях.

Домашняя работа:

Задача 1: Трисекция угла в 135 градусов.

Пусть требуется разделить на три равные части угол MAN=135 градусов. Т.к. 135:3 = 45, то из точки А строим перпендикуляр АК к прямой АМ. Затем строим биссектрису АР угла КАМ. При этом получаем искомое деление угла MAN на три равных угла углы КАN=КАР=РАМ=45 градусов.

Доказательство: Т.к. АК – перпендикуляр к прямой АМ, то угол КАМ=90 градусов, угол NАК= 135 градусов – 90 градусов = 45 градусов. АР – биссектриса угла КАМ, значит угол ВАР= углу РАК = 45 градусов. Значит, углы МАР=РАС=САК=45 градусов.

Задача 2: Построить угол 53 градуса, если построен угол 104 градуса.

При решении используем построения прямого угла, биссектрисы угла и угла 60 градусов.

Построение: 1) 104 градуса–90 градусов =14 градусов, 2) 14 градусов: 2 = 7 градусов, 3) строим 60 градусов и 60 градусов –7 градусов = 53 градуса.

Приложение:

Список литературы:

1. Атанасян Л.С. Геометрия 7-9. М.: Просвещение, 2005. - 335 с.
2. Далингер В.А. Планиметрические задачи на построение. Омск: Изд-во ОГПИ, 1999. - 78 с.
3. Ильина Н.И. Геометрические построения на плоскости. М.: Школа - пресс, 1997. - 172 с.
4. Манин И.Ю. О разрешимости задач на построение с помощью циркуля и линейки // Энциклопедия элементарной математики. М.: Физматгиз, 1963. Т. 4: Геометрия. С. 205-227.
5. Погорелов А.В. Геометрия, 7–11. М.: Просвещение, 1992
6. Прасолов В.В. Три классические задачи на построение. М.: Наука, 1992. 80 с.
7. Энциклопедия для детей. Т. 11. Математика/Ред. коллегия: М.Аксенова, В.Володин и др. – М.: Аванта+, 2005.

Деление угла на три равные части при помощи циркуля и линейки (Трисекция угла).

Жарков Вячеслав Сергеевич

Отсутствует

Интернет

Аннотация:

Предлагается общий подход к решению задач о делении угла на равные части с помощью циркуля и линейки. В качестве примера показано деление угла на три равные части (Трисекция угла).

It is proposed that the general approach to problem-solving to divide an angle into equal parts by using a compass and ruler. As an example, angle shows the Division into three equal parts (Trisection of the angle).

Ключевые слова:

угол; деление угла; трисекция угла.

angle; divide angle; trisection of an angle.

УДК 51

Введение.

Трисекция угла — задача о делении заданного угла на три равные части построением циркулем и линейкой. Иначе говоря, необходимо построить трисектрисы угла — лучи, делящие угол на три равные части. Наряду с задачами о квадратуре круга и удвоении куба является одной из классических неразрешимых задач на построение, известных со времён Древней Греции.

Целью данной статьи является доказательство ошибочности выше приведённого утверждения о неразрешимости, во всяком случае, в отношении задачи о трисекции угла.

Предлагаемое решение не требует сложных построений, практически универсально и позволяет делить углы на любое количество равных частей , что в свою очередь позволяет строить любые правильные многоугольники.

Вступительная часть.

Проведём прямую линию a и построим на ней ∆CDE. Условно назовём его «базовым» (Рис.1).

Выберем на линии a произвольную точку F и проведём ещё одну прямую линию b через т.F и вершину D треугольника. На линии b возьмем две произвольные точки G и H и соединим их c точками C и E как показано на Рис.1. Анализ рисунка позволяет записать следующие очевидные соотношения между углами:

1. α 1 -α 3 =y 1 ; α 3 -α 5 =y 3 ; α 1 -α 5 =y 1 +y 3 ;

2. α 2 -α 4 =y 2 ; α 4 -α 6 =y 4 ; α 2 -α 6 =y 2 +y 4 ;

3. y 1 /y 2 =y 3 /y 4 ;

Пояснение1. к п.3: Пусть углы - ∟ C ,∟ D ,∟ E являются углами при соответствующих вершинах базового треугольника ∆ CDE . Тогда можно записать:

∟ C +∟ D +∟ E =180 0 - сумма углов ∆ CDE ;

∟ C + y 2 +∟ D -(y 2 + y 1 )+∟ E + y 1 =180 0 - сумма углов ∆ CGE ;

Пусть y 1 / y 2 = n или y 1 = n * y 2 , тогда,

∟ C + y 2 +∟ D -(y 2 + y 1 )+∟ E + n * y 2 =180 0

Сумма углов ∆ CHE :

∟ C +(y 2 + y 4 )+∟ D -(y 2 + y 4 + y 1 + y 3 )+∟ E + n *(y 2 + y 4 )=180 0 , откуда

y 1 + y 3 = n *(y 2 + y 4 ) или y 1 + y 3 = n * y 2 + n * y 4 , и так как y 1 = n * y 2 ,то

y 3 = n * y 4 и следовательно y 1 /y 2 =y 3 /y 4 =n.

Далее, возьмем две произвольные точки на линии a - N и M, и проведём через них две линии c и d как показано на Рис.2. Очевидно, в том числе из ранее сказанного, что отношение изменений соответствующих углов на линиях c и d величина постоянная, т. е.: (β 1 -β 3)/(β 3 -β 5)= (β 2 -β 4)/(β 4 -β 6)= y 1 / y 3 = y 2 / y 4 ;

Деление угла на три равные части.

На окружности с центром в точке A отложим угол E 1 AE 2 =β (см. Рис. 3.1). На противоположной стороне окружности отложим симметрично три угла - CAC 1 , C 1 AC 2 , C 2 AC 3 каждый равный β. Разделим угол E 1 AE 2 , в точках K 1 ,K 3 , на три равных угла - ∟E 1 AK 1 , ∟K 1 AK 3 , ∟K 3 AE 2 равных β/3. Проведём прямые линии через точки на окружности как это показано на Рис. 3.1. Соединим прямыми линиями точки C,E 1 и C 2 ,E. (см. Рис. 3.2)

Через точку K - пересечения линий, и точку K 1 проведём прямую линию. Выберем на этой линии произвольную точку K 2 и проведём через неё две прямые из точек C и C 2 .

Не трудно заметить что Рис. 3.2, если убрать линию окружности, практически идентичен Рис. 2. (Для наглядности добавлена штриховая линия CC 2). Значит и все соотношения, о которых говорилось выше, применимы и здесь, а именно для углов которые необходимо разделить на три равные части справедливо соотношение y 1 /y 2 =y 3 /y 4 =1/2 (см. Пояснение 1. в вступительной части). Из рисунка 3.2 становится ясно, как поделить угол на три равных части.

Рассмотрим, в качестве примера, деление на три равных части угла β=50 0 .

Вариант 1.

На окружности с центром A откладываем циркулем симметрично относительно друг друга и диаметра CB (см. Рис 4.1) дуги C 1 C 2 =B 1 B 2 =B 2 B 3 =B 1 B 4 равные β=50 0 - относительно центра окружности. Половину дуги C 1 C 2 - CC 1 делим пополам (точка D). Проводим прямые через точки B 1 и D, и точки B 3 и C. Соединяем между собой точки B 1 и C, B 3 и C 1 . Соединяем точки пересечения - F и E, ранее проведённых линий, между собой. Полученный угол α=C 1 AG, где G точка пересечения линии FE с окружностью, равен β/3.

Вариант 2.

На окружности с центром A откладываем циркулем симметрично относительно друг друга и диаметра CB (см. Рис 4.2) дуги C 1 C 2 =B 1 B 2 =B 2 B 3 =B 1 B 4 =β=50 0 - относительно центра окружности. Соединяем между собой точки B 1 и C, B 3 и C 1 . Отложим углы y 2 =2y 1 (см. Рис 4.2) от линий B 1 C и B 3 C 1 и проведём прямые линии соответственно этим углам. Соединяем точки пересечения - F и E, ранее проведённых линий, между собой. Полученный угол α=C 1 AG≈16.67 0 , где G точка пересечения линии FE с окружностью, равен β/3.

Полное построение деления угла на три равных части (на примере угла β=50 0) показано на Рис.5

Деление угла на нечётное количество (>3-х) равных углов.

В качестве примера рассмотрим деление угла β=35 0 на пять равных между собой углов.

Способ №1.

На окружности с центром A откладываем циркулем симметрично относительно друг друга и диаметра CB углы C 2 AC 1 =B 1 AB 2 =B 2 AB 3 =B 3 AB 4 =B 4 AB 5 =B 5 AB 6 =β=35 0 .(см. Рис.6)

Делим угол C 2 AC равный половине угла C 2 AC 1 пополам в точке E. Соединяем точки

E,C 2 ,B 1 ,B 2 ,B 3 между собой как показано на рисунке 6. Далее, для деления угла, используем Вариант 2 из ранее приведённого примера, т. к. Вариант 1 для деления углов на нечётное количество >3-х равных углов очевидно не применим. От линий B 3 E и B 1 C 2 в точках B 3 и B 1 соответственно, отложим углы y 1 и y 2 в соотношении 1:4. Из точек B 3 и B 1 проведём прямые соответственно этим углам, до пересечения в точке N. Угол C 2 AK=α=7 0 будет искомым.

Способ №2.

Этот способ (см. Рис.7) аналогичен первому с той лишь разницей, что для построений используется ¼ угла C2AC1 - угол EAC прилегающий к средней линии окружности BC. Преимущество данного способа в том, что он облегчает деление угла на большое количество углов - 7, 9, 11 и т. д.

Построение правильного семиугольника.

Примем, что n - число разбиений (количество секторов на которое делится угол).

Тогда если n -1=2 k (1), где k - любое целое число, то угол делится в один этап, что было показано ранее. Если n -1 ≠ 2 k (2) - то угол делится в два этапа, вначале на n -1 , а затем уже на n . При этом во всех случаях соблюдается соотношение: y 1 / y 2 = 1/ n -1 (3).

Поясним это на примере построения правильного семиугольника.

Для того чтобы построить семиугольник надо найти 1/7-ю часть угла 60 0 ,умножить её на шесть, и отложить полученный угол семь раз по окружности (это один из возможных вариантов). Так как 7-1=6 то в соответствии с формулой (2) угол 60 0 будем делить в два этапа. На первом этапе разделим на шесть, а затем, на втором этапе, на семь. С этой целью, разделим угол 30 0 на три равных сектора по 10 0 (см. Рис.8), используя, как самый простой, Вариант 1 описанный в начале статьи. Полученный угол ECL=10 0 отложим от средней линии окружности (см. Рис.9). Будем считать, что угол ECL принадлежит симметрично отложенному относительно средней линии углу 60 0 .

Далее чтобы найти 1/7-ю часть угла 60 0 используем Способ №2 описанный ранее. С этой целью отложим угол D 1 CD 2 =60 0 симметрично к средней линии и угол D 2 CD 3 =60 0 примыкающий к нему. В точках D 1 и D 3 построим углы y 1 и y 2 к линиям D 1 E и D 3 L соответственно, соблюдая пропорции в соответствии с формулой (3) - то есть 1 к 6.

Проведём прямые линии под углами y 1 и y 2 . Соединим точки пересечения G и F соответствующих линий. Угол LCH=60 0 /7. Отложим этот угол шесть раз от точки L до точки B. Отложим полученный угол BCL ещё шесть раз, и в результате получим семиугольник LBKFMNA.

Заключение.

Способ деления угла на равные части, предлагаемый в данной статье имеет ограничение - невозможность его применения непосредственно для углов > 60 0 , что впрочем, не столь существенно с точки зрения принципиальной решаемости задачи.

Библиографический список:

1. Метельский Н. В. Математика. Курс средней школы для поступающих в вузы и техникумы. Изд. 3-е, стереотип. Мн., «Вышэйш. Школа», 1975 г. 688 с. с илл.

Рецензии:

20.03.2016, 14:39 Назарова Ольга Петровна
Рецензия : Интересные выкладки, рекомендуется к печати

22.03.2016, 11:09 Мирмович-Тихомиров Эдуард Григорьевич
Рецензия : Интересно, познавательно, лаконично. Виден инженерный подход. Но этот материал следует публиковать не здесь, а в любом образовательном журнале. Если он был уже опубликован автором в другом издании, то тем более. Кроме того, данная платформа очень дискомфортна к формулам. Рецензент не хотел бы, чтобы здесь публиковались любые учебно-дидактические и методические материалы. Но спорить с уважаемой Ольгой Петровной не стану. Может, редакция ещё сама что-то порешает!?. Чёткой рекомендации да-нет дать трудно.

22.03.2016 16:16 Ответ на рецензию автора Жарков Вячеслав Сергеевич :
Приведённое решение, что очевидно, не предполагает приблизительности решения задачи!!!. Оно неверно только в одном случае, что тоже достаточно очевидно, если сумма углов треугольника на плоскости ≠1800. Что - нонсенс. Некоторые основы, в том числе и в математике, иногда требуют корректировки. И дидактика тут ни причём.

В виде приложения мы можем теперь заняться решением одной уже раньше затронутой популярной математической проблемы, - а именно, задачи о делении любого угла на равных частей, в частности для - задачи о трисекции угла. Задача состоит в том, чтобы найти точное построение с помощью циркуля и линейки, которое давало бы деление любого угла на три равные части. Для целого ряда специальных значений угла легко можно найти такие построения. Я хочу познакомить вас с ходом мыслей в доказательстве невозможности трисекции угла в указанном смысле; при этом я прошу вас вспомнить доказательство невозможности построения правильного семиугольника с помощью циркуля и линейки. Как и в том доказательстве, мы сведем задачу к неприводимому кубическому уравнению и затем покажем, что его невозможно решить посредством одних только извлечений квадратного корня. Но только теперь в уравнение будет входить параметр - угол - тогда как раньше коэффициенты были целыми числами; в соответствии с этим теперь вместо числовой должна оказаться функциональная неприводимость.

Чтобы получить уравнение, дающее запись нашей проблемы, представим себе, что на положительной полуоси действительных чисел построен угол (рис. 41); тогда его вторая сторона пересечет окружность радиуса 1 в точке

Наша задача сводится к тому, чтобы найти такое независимое от величины угла построение, состоящее из конечного числа операций с циркулем и линейкой, которое всякий раз давало бы точку пересечения этой окружности со стороной угла т. е. точку

Это значение z удовлетворяет уравнению

и аналитический эквивалент нашей геометрической задачи состоит в том, чтобы решить это уравнение посредством конечного числа извлечений квадратных корней из рациональных функций от ибо это суть координаты точки w, из которых мы должны исходить при нашем построении.

Прежде всего надо убедиться в том, что уравнение (3) неприводимо с точки зрения теории функций. Правда, это уравнение не вполне подходит под тот тип уравнений, который мы имели в виду в предыдущих общих рассуждениях: вместо рационально входящего комплексного параметра w здесь рационально входят две функции - косинус и синус - действительного параметра Мы назовем здесь многочлен приводимым при условии, что он распадается на многочлены относительно , коэффициенты которых тоже являются рациональными функциями от Можно дать критерий понимаемой в этом смысле приводимости, вполне подобный прежнему. А именно, если в равенстве (3) пробегает все действительные значения, то пробегает в то же время окружность радиуса 1 в плоскости w, которой в силу стереографической проекции соответствует экватор на сфере w. Линия, лежащая над этой окружностью на римановой поверхности уравнения и одновременно пробегающая все три листа, при помощи (3) взаимно однозначно отображается на окружность радиуса 1 сферы и поэтому может быть до некоторой степени названа его «одномерным римановым изображением». Ясно, что подобным образом можно для всякого уравнения вида построить такое риманово изображение; для этого нужно взять столько экземпляров окружностей с радиусом 1 и с длиной дуги сколько корней имеет уравнение, и скрепить их соответственно связности корней.

Далее заключаем совершенно подобно прежнему, что уравнение только тогда могло бы быть приводимым, если бы его одномерное риманово изображение распадалось на отдельные части, но в данном случае это не имеет места, и потому неприводимость нашего уравнения (3) доказана.

Прежнее доказательство того, что всякое кубическое уравнение с рациональными численными коэффициентами, разрешимое посредством ряда извлечений квадратного корня, является приводимым, может быть дословно перенесено на настоящий случай неприводимого в функциональном смысле уравнения (3); стоит только вместо слов «рациональные числа» говорить каждый раз «рациональные функции от После этого является вполне доказанным наше утверждение о том, что невозможно выполнить посредством конечного числа операций (с циркулем и линейкой) деление на три части произвольного угла таким образом, все старания людей, занимающихся трисекцией угла, обречены на вечную бесплодность!

Теперь перейдем к рассмотрению несколько более сложного примера.

8 июня 2011

Деление прямых линий и углов может быть произведено двояким образом: на глаз и с помощью геометрического построения.

При делении прямой на две равные части поступают следующим образом. Половину данной прямой берут циркулем на глаз и откладывают эту половину от обоих концов прямой. Если концы половинок сходятся, то, значит, данная прямая разделена правильно, если нет, то ошибка (разница) делится опять пополам на глаз и прибавляется (или отнимается, смотря по надобности) ко взятой циркулем половине.

Так же поступают при делении на 3, 5 и т. д. равных частей. При делении на 4 равные части сначала делят прямую пополам, а потом — обе ее половины. При делении на 6 равных частей сначала делят прямую на 3 равные части, а затем каждую часть пополам.

Угол делят на равные части таким же образом, с той разницей, что делится на части дуга, проведенная любым радиусом из вершины данного угла и заключенная между сторонами угла. Точки деления соединяются с вершиной угла прямыми линиями.

Деление на глаз прямых линий и углов (дуг) сберегает время. Поэтому надо постоянно упражняться в таком делении.

Деление прямой линии построением производится так. Предположим, что данный отрезок AN требуется разделить на 5 равных-частей. Из конца прямой АВ под произвольным углом проводим прямую АС и на ней от точки А откладываем пять произвольных частей так, чтобы AD = DE = EF = FG = GH; соединяем Н с N и через точки D, Е, F и G проводим прямые, параллельные NH, которые пересекут AN в точках I, К, L, М так, что AL = IK = KL = LM = MN.

Деление углов на равные части построением выполняется тремя основными способами.

1. Данный угол ВАС разделить на 2, 4, 8 и т. д. равных частей.

Из точек D и как из центров, одинаковыми радиусами проводим дуги, которые пересекутся в F. Прямая FA разделит угол ВАС (а точка G — дугу DF) пополам.

Чтобы разделить угол или дугу на 4 равные части, надо повторить то же построение для каждой половины и т. д. Построение годится для любых углов: прямых, тупых и острых.

2. Прямой угол ВАС разделить на 3, 6, 12 и т. д. равных частей.

Радиусом AD из точек D и Е описываем дуги, которые пересекут дугу в точках F и G; проводим AF и AG, которые делят угол ВАС и дугу DF на 3 равные части.

Чтобы разделить угол на 6 равных частей, надо каждую треть разделить пополам и т. д. 

Всякий яругой угол, кроме прямого, может быть разделен на 3 равные части только на глаз или по транспортиру.

3. Угол, образуемый прямыми ЛВ и CD, разделить пополам при условии, что вершина угла недоступна.

Через произвольную точку Е на прямой CD проводим прямую EG, параллельную ЛВ из этой же точки произвольным радиусом описываем дугу GH;соединяем G и H прямой линией и проводим ее до пересечения с ЛВ в точке I; далее делим прямую HI пополам в точке М и через эту точку проводим к прямой HI перпендикуляр KL, этот перпендикуляр разделит угол, вершина которого недоступна, на 2 равные части. Иногда надо выполнить построение перехода двух полос неодинаковой ширины это надо делать с помощью закругления по дуге круга, как показано на рисунке.

Продолжаем отрезки а, с и b, d до взаимного пересечения в точках A и В и образовавшиеся углы делим пополам. Если продолжить перпендикуляр DC до пересечения с биссектрисами углов ЕАС и FBD, то полученные точки М и М 1 будут центрами искомых закруглений.

Угол делят на равные части и с помощью транспортира. Если требуется, например, данный угол разделить на 7 равных частей, то находят, чему равен угол, и полученное число градусов делят на 7; результат обычно бывает неточный, так как на обыкновенные транспортиры минуты и секунды не наносятся. Необходимое исправление делается на глаз.

«Отделка комнат при ремонте»,
Н.П.Краснов

Мы уже говорили, что для исполнения некоторых видов малярных работ необходимо уметь рисовать. А умение рисовать, в свою очередь, предполагает знание правил построения геометрических фигур. Эскизы на бумаге вычерчивают при помощи треугольников, рейсшин, транспортаpa и циркуля, а на плоскости стен и потолков построения выполняются при помощи веска, линейки, деревянного циркуля и шнура. При этом надо…

Прямой угол, т. е. равный 90°, образуется двумя взаимно перпендикулярными линиями. Перпендикуляр строится следующим образом. Опустить перпендикуляр. Из данной точки С (лежащей вне прямой), как из центра, произвольным радиусом описываем дугу так, чтобы она пересекла данную прямую в двух точках D и Е из этих точек, как из центров, одинаковыми радиусами описываем дуги, чтобы они…

Выполнить трисекцию угла - это значит разделить угол на три равные части. Сделать это, конечно, совсем нетрудно. Можно, например, измерить данный угол транспортиром, разделить найденное число градусов на три, а затем отложить посредством того же транспортира угол, содержащий полученное в частном число градусов. Но можно обойтись

и без транспортира, применяя метод «последовательных приближений»: построив произвольным радиусом дугу, для которой данный угол является центральным, возьмем на глаз хорду, соответствующую третьей части дуги, и отложим эту хорду последовательно три раза по дуге, начиная от одного из ее концов. Если после этого мы окажемся на другом конце дуги, задача решена. Если же, как это обыкновенно и бывает, мы не дойдем до другого конца дуги, или перейдем через него, то взятую нами на глаз хорду надо исправить, увеличив или уменьшив ее на одну треть расстояния от полученной точки до конца дуги, причем эту одну треть берем опять-таки на глаз. Эту исправленную хорду снова откладываем на дуге и в случае надобности вновь исправляем тем же способом. Каждая новая (исправленная) хорда будет давать все более точное решение, и, наконец, повторив операцию несколько раз, мы получим хорду, которая уложится на данной дуге практически ровно три раза, и трисекция угла будет выполнена. Конечно, эти два способа позволяют делить данный угол не только на три, но на любое число равных частей.

Однако, когда математики говорят о проблеме трисекции угла, они имеют в виду не эти весьма ценные в практическом отношении, но все же лишь приближенные способы, а точный способ, притом основанный на применении исключительно циркуля и линейки. Необходимо еще отметить, что имеется в виду использование одного лишь ребра линейки и что линейка должна служить только для проведения прямых (не допускается использование, например, масштабных делений), а циркуль - только для вычерчивания окружностей. Наконец, искомый способ должен давать решение задачи посредством конечного числа операций проведения прямых и окружностей. Последнее замечание очень существенно. Так, установив (по формуле суммы геометрической бесконечно убывающей прогрессии), что

можно предложить следующее решение задачи трисекции угла, требующее применения только линейки и циркуля: делим данный угол на 4 равные части, что, как известно, выполнимо посредством циркуля и линейки, а затем к полученному углу прибавляем поправку, равную четверти его самого, т. е. данного угла, потом вторую поправку,

равную первой, т. е. данного угла, и т. д. Точное решение задачи этим способом требует бесконечно большого числа операций (делений углов на 4 равные части), а потому не является тем классическим решением, какое имеют в виду, когда говорят о решении задачи трисекции угла и других задач на построение.

Итак, у нас будет идти речь о точном решении задачи трисекции угла посредством проведения конечного числа прямых и окружностей.

Для некоторых углов эта задача решается весьма просто. Так, для трисекции угла в 180° достаточно построить угол в 60°, т. е. угол равностороннего треугольника, а для трисекции углов в 90° и 45° - углы в 30° и 15°, т. е. половину и четверть угла равностороннего треугольника. Однако доказано, что наряду с бесконечным множеством углов, допускающих трисекцию, существует бесконечное же множество углов, не допускающих трисекции (в указанном выше смысле). Так, нельзя разделить на три равные части (посредством проведения конечного числа прямых и окружностей) ни угол в 60°, ни угол в 30°, ни угол в 15°, ни угол в 40°, ни угол в 120°, ни бесконечное множество других углов.

Теперь выясним, правилен ли следующий часто рекомендуемый способ деления произвольного угла на три равные части. Из вершины В произвольным радиусом проводим дугу окружности, которая пересечет стороны угла в точках (черт. 39). Делим хорду на три равные части и соединяем точки деления с В. Углы окажутся, будто бы, равными, и трисекция произвольного угла следовательно, будет выполнена так, как

требуется, т. е. посредством проведения конечного числа прямых и окружностей: деление отрезка на три равные части, которое здесь требовалось, выполнимо, как известно, именно так.

Предлагающие такое решение полагают, что равенство отрезков на которые мы разделили хорду влечет за собой и равенство дуг которые получатся, если продолжить и до пересечения с окружностью. Так ли это? Если эти дуги равны, то равны и углы (пусть каждый из них равен а), равны и стягивающие их хорды Но отрезок больше отрезка (это утверждение подсказывается чертежом, но ниже мы его докажем), а отрезок равен отрезку так как углы и равны:

Следовательно, при равенстве отрезков и отрезки и вопреки условию неравны, и предположение о равенстве и надо отвергнуть.

Опустив перпендикуляр из вершины В на хорду замечаем, что вся фигура симметрична относительно ВК: перегнув чертеж по мы приведем обе его половинки к совпадению. Отсюда заключаем, что отрезок III перпендикулярен к а в силу этого отрезок параллелен и треугольники и подобны, что дает: Но а потому и как мы и утверждали выше.