Время выполнения работы – 2 часа

Цель: Двухступенчатый стальной брус, длина ступеней которого указана на схеме, нагружены силами F 1 и F 2. Построить эпюры продольных сил и нормальных напряжений по длине бруса. Определить удлинение (укорочение) бруса, приняв МПа.

Задача: Числовые значения сил F 1 и F 2, а так же площадей поперечных сечений ступеней А 1 и А 2 взять из таблицы.

Вариант	№ схемы	F 1, кН	F 2, кН	А 1 , см 2	А 2 , см 2	Вариант	№ схемы	F 1, кН	F 2, кН	А 1 , см 2	А 2 , см 2
	IX	22,0	30,6	2,7	2,1		VI	3,0	6,0	0,5	0,9
	VII	16,0	8,0	1,4	0,4		IV	8,0	18,0	2,0	3,0
	V	3,5	12,0	2,5	1,8		II	4,0	9,2	0,5	0,6
	III	15,0	30,0	2,1	1,6		IX	12,0	34,0	2,2	1,8
	I	10,0	20,0	1,2	0,8		VII	19,0	9,8	0,9	0,6
	X	12,0	30,0	2,1	2,5		V	18,0	38,0	3,0	1,8
	VIII	14,0	16,0	2,4	2,8		III	20,0	32,0	2,5	2,2
	VI	6,0	3,0	0,4	0,8		I	12,0	20,0	0,7	0,9
	IV	10,8	29,0	1,8	2,0		X	14,2	30,0	1,5	2,4
	II	3,3	8,0	0,4	0,5		VIII	10,0	16,0	2,2	3,0
	IX	10,8	30,0	2,8	2,4		VI	6,0	3,0	0,4	0,8
	VII	8,3	30,5	1,5	0,8		IV	7,6	20,5	2,8	3,2
	V	27,0	27,0	2,8	2,0		II	4,8	10,0	0,4	0,8
	III	14,0	18,0	2,3	2,1		IX	11,0	24,0	2,0	1,6
	I	12,0	10,0	1,2	0,8		VII	8,0	8,4	2,0	1,4
	X	14,0	40,0	2,0	2,0		V	1,4	20,0	2,6	1,5
	VIII	16,0	12,0	1,1	3,0		III	30,0	36,0	2,4	1,6

Практическая работа №8

Тема: Решение задач по теме «Растяжение, сжатие»

Время выполнения работы – 1 час

Растяжением или сжатием называется такой вид деформации, при котором в поперечном сечении стержня возникает один внутренний силовой фактор – продольная сила N.
Величина последней равна алгебраической сумме проекций на продольную ось внешних сил, действующих на отсеченную часть стержня
N=∑ F KZ (1)
Так как величина продольных сил в разных сечениях стержня неодинакова, то строится эпюра продольных сил, т.е. график, показывающий изменения величины продольных сил в сечении стержня по его длине.
Под действием продольных сил в поперечном сечении стержня возникает нормальное напряжение, которое определяется по формуле:
σ =N/А
где А- площадь поперечного сечения стержня.
При решении первой задачи от студента требуется умение строить эпюры продольных сил, нормальных напряжений и определять удлинение или укорочение стержня.
Последовательность построения эпюр продольных сил:
Разбиваем стержень на участки, ограниченные точками приложения сил (нумерацию участков ведём от незакрепленного конца).
Используя метод сечений, определяем величину продольных сил в сечении каждого участка.
Выбираем масштаб и строим эпюру продольных сил, т.е. под изображением стержня проводим прямую, параллельную его оси, и от этой прямой проводим перпендикулярные отрезки, соответственно в выбранном масштабе продольным силам (положительное значение откладываем вверх (или в право) отрицательное - вниз (или влево).
Последовательность построения эпюр нормальных напряжений.
Разбиваем стержень на участки, ограниченные точками приложения сил и там, где меняется площадь сечения
Строим эпюру нормальных сил
по формуле 1 определяем нормальные напряжения на каждом участке
По полученным значениям в масштабе строим эпюру нормальных напряжений.
Удлинение (укорочение) стержня определяется по формуле Гука.

	Nl		σ l
	AE		E

где Е – модуль Юнга (для стали Е=2·10 5 МПа).
Удлинение (укорочение) определяется на каждом участке стержня, а затем находят алгебраическую сумму полученных значений. Это будет ∆l стержня. Если ∆l положительна, то брус удлиняется, если ∆l отрицательна, то укорачивается.
При решении ряда задач необходимо ясно представлять смысл условия прочности при растяжении – сжатии, знать, что исходя из условия прочности, можно производить три вида расчётов:
а) проверочный, при котором проверяется выполнено ли условие прочности σ≤ [σ] (или n≥ [n]);
б) определение допускаемой нагрузки;
в) проектный, при котором определяются необходимые размеры поперечных сечений бруса, обеспечивающие заданную прочность.
Студенты должны также уметь пользоваться в ходе решения всеми необходимыми формулами, расчётными зависимостями и правильно выполнять вычисления.
II. Вопросы для самопроверки
2.1. Как нужно нагрузить прямой брус, чтобы он работал на растяжение - сжатие?
2.2 Как определяется напряжение в любой точке поперечного сечения при растяжении (сжатии)?
2.3. Каков физический смысл модуля продольной упругости Е?
2.4. Что такое допускаемое напряжение и как оно выбирается в зависимости от механических свойств материала?
2.5. Сколько различных видов расчёта, и какие расчеты можно проводить, используя условие прочности?
адача. Проверить прочность стального стержня при заданых допускаемых напряжениях 160МПа. (решение задач по технической механике)

А лгоритм решения

1. Находим неизвестные внешние усилия (силы, моменты, реакции опор)
2. Разбиваем на расчетные участки (границы расчетных участков определяются изменением нагрузки, площади сечения, материала).
3. Пользуясь методом сечений определяем продольные силы. (Метод сечений: Р азрезаем стержень, О тбрасываем одну из частей, З аменяем действие отброшенной части внутренними силами, составляем У равнения равновесия рассматриваемой части)
4. Строим эпюру продольных сил
5. определяем нормальные напряжения на участках
6. Строим эпюру перемещений
7. Проверяем прочность стержня (в случае, если материал стержня по разному работает на растяжениеи сжатие, проверяем прочность отдельно на растяжения и сжатие)
8. Определяем перемещения на каждом участке (перемещение в конце участка равняется сумме перемещений в начале участка и перемещению на данном участке)

9. Строим эпюру перемещений

При решении задачи пренебрегаем собственным весом стержя.

При жестко закрепленном стержне вначале можно не определять реакции в опоре, а строить эпюры, идя со свободного конца стержня. При этом реакцию в опоре можно определить по эпюре продольных сил

Порядок решения типовых задач
Задача №1
Двухступенчатый стальной брус нагружен силами F 1 =30 кН F 2 =40 кН.
Построить эпюры продольных сил и нормальных напряжений по длине бруса. Определить перемещение ∆l свободного конца бруса, приняв Е=2∙10 5 МПа. Площади поперечных сечений А 1 =1,5см 2 ?;А 2 =2см 2 ?

Первая задача требует от студента умения строить эпюры продольных сил, нормальных напряжений и определять удлинения и укорочения бруса.
Последовательность решения задачи
Разбить брус на участки, начиная от свободного конца. Границами участков являются сечения, в которых приложены внешние силы, а для напряжений также и место изменения размеров поперечного сечения.
Определить по методу сечений продольную силу для каждого участка (ординаты эпюры N) и построить эпюры продольных сил N. Проведя – параллельно оси бруса базовую (нулевую) линию эпюры, отложить перпендикулярно ей в произвольном масштабе получаемые значения ординат. Через концы ординат провести линии, проставить знаки и заштриховать эпюру линиями, параллельными ординатам.
Для построения эпюры нормальных напряжений определяем напряжения в поперечных сечениях каждого из участков. В пределах каждого участка напряжения постоянные, т.е. эпюра на данном участке изображается прямой, параллельной оси бруса.
Перемещение свободного конча бруса определяем как сумму удлинений (укорочений) участков бруса, вычисленных по формуле Гука.
Решение:
Разбиваем брус на участки.
Определяем ординаты эпюры N на участках бруса:
N 1 = - F 1 = -30кН
N 2 = - F 2 = -30кН
N 3 = -F 1 +F 2 = -30+40=10 кН
Строим эпюру продольных сил
Вычисляем ординаты эпюры нормальных напряжений
σ 1 = = = –200МПа
σ 2 = = = –150МПа
σ 3 = = = 50МПа
Строим эпюры нормальных напряжений.
4. Определяем перемещение свободного конца бруса
∆l =∆l 1 +∆l 2 +∆l 3
∆l 1 = = = – 0,5мм
∆l 2 = = = – 0,225мм
∆l 3 = = = 0,05мм
∆l = - 0,5 – 0,225 + 0,05 = – 0,675мм
Брус укоротился на 0,675мм
Задача № 2
Из условия прочности определить размеры поперечного сечения стержня, удерживающего в равновесии балку, если предел текучести материала σ т =320МПа, заданный коэффициент запаса прочности [n] = 2,5. Расчет провести для двух случаев:
1. поперечное сечение стержня – круг;
2. поперечное сечение стержня – квадрат.

Вторая задача может быть решена студентами, если они будут ясно представлять смысл условия прочности при растяжении (сжатии).
Последовательность решения задачи:
Балку, равновесие которой рассматривается, освободить от связей и заменить действия связей их реакциями;
Составить уравнение равновесия, причем принять за точку, относительно которой определяются моменты, точку в которой установлена опора, и определяем продольную силу N;
Определить из условия прочности площадь поперечного сечения стержня;
Определить для двух случаев размеры поперечного сечения стержня.
Для круга – диаметр d;
Для квадрата – сторону a.
Решение
Составляем уравнение равновесия и определяем продольную силу N
Σ m A =0
N∙sin30 ° ∙3 – 3q∙1,5 + F∙1 = 0
N= = = 53,3 кН
2. Определяем допускаемое нормальное напряжение

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ НИЖЕГОРОДСКОЙ ОБЛАСТИ

Государственное бюджетное образовательное учреждение

среднего профессионального образования

«ПЕРЕВОЗСКИЙ СТРОИТЕЛЬНЫЙ КОЛЛЕДЖ»

Методическая разработка учебного занятия

тема «Построение эпюр продольных сил, нормальных напряжений и перемещений»

Организация-разработчик: ГБОУ СПО «Перевозский строительный колледж»

Разработчик: М.Н. Кокина

Методическая разработка учебного занятия на тему «Построение эпюр продольных сил, нормальных напряжений и перемещений» по дисциплине «Техническая механика»/ Перевозский строит. колледж; Разр.: М.Н. Кокина. – Перевоз, 2014. –18 с.

В данной работе указаны цель учебного занятия, задачи. Подробно рассмотрен ход занятия, в приложении представлен демонстрационный и раздаточный материал. Методическая разработка написана с целью систематизации учебного материала.

Методическая разработка предназначена для преподавателей и студентов, обучающихся по специальности 270802, 08.02.01 «Строительство и эксплуатация зданий и сооружений».

Работа может быть использована при проведении, занятий, открытого занятия, олимпиады. Студентам может быть полезна при подготовке к зачету, экзамену.

Введение

Методическая разработка учебного занятия на тему «Построение эпюр продольных сил, нормальных напряжений и перемещений» по дисциплине «Техническая механика» предназначена для студентов 2 курса, специальности 270802, 08.02.01 «Строительство и эксплуатация зданий и сооружений».

Выбор указанной темы обусловлен тем, что данные понятия и методы являются опорной базой для целого ряда технических дисциплин.

В ходе учебного занятия использовались:

компьютерные и мультимедийные технологии;

интерактивная доска;

• объяснительно-иллюстративный, репродуктивный, частично-поисковый методы обучения;

  раздаточные материалы.

В ходе изучения темы «Построение эпюр продольных сил, нормальных напряжений и перемещений» у обучающихся формируются следующие компетенции:

ПК 1.3.Выполнять несложные расчеты и конструирование строительных конструкций.

ОК 1 Понимать сущность и социальную значимость своей будущей профессии, проявлять к ней устойчивый интерес.

ОК 2 Организовывать собственную деятельность, определять методы и способы выполнения профессиональных задач, оценивать их эффективность и качество.

ОК 3 Принимать решения в стандартных и нестандартных ситуациях и нести за них ответственность.

ОК 4 Осуществлять поиск, анализ и оценку информации, необходимой для постановки и решения профессиональных задач, профессионального и личностного развития.

ОК 5 Использовать информационно-коммуникационные технологии для совершенствования профессиональной деятельности.

ОК 6 Работать в коллективе и команде, обеспечивать ее сплочение, эффективно общаться с коллегами, руководством, потребителями.

ОК 7 Брать на себя ответственность за работу членов команды (подчиненных), за результат выполнения заданий.

План-конспект открытого учебного занятия по дисциплине «Техническая механика»

Преподаватель: Кокина Марина Николаевна

Группа: 2-131, специальность 270802 «Строительство и эксплуатация зданий и сооружений».

Тема занятия: Построение эпюр продольных сил, напряжений и перемещений

Вид занятия: практическое.

Тип занятия: комбинированный урок с использованием компьютерных и мультимедийных технологий с элементами игры.

Форма проведения: работа в группах, самостоятельная работа.

Межпредметная связь: «Математика»,«Материаловедение», «Физика».

Основная цель учебного занятия: Научиться строить эпюры продольных сил, напряжений и определять перемещение для бруса при растяжении или сжатии.

Задачи учебного занятия:

Учебная:

– рассмотреть алгоритм нахождения продольной силы методом сечений и построения ее эпюры;

Научиться вычислять нормальное напряжение для растяжения или сжатия в поперечном сечении для ступенчатого бруса и строить эпюру для данного напряжения;

Научиться определять перемещение свободного конца бруса.

Развивающая:

Развитие интеллектуальных качеств обучающихся, познавательного интереса и способностей;

Развитие умения использовать полученные знания.

Воспитательная:

– формирование сознательного отношения к изучаемому материалу;

– воспитание культуры труда, формирование навыков самостоятельной работы.

Методы обучения:

Объяснительно-иллюстративный.

Репродуктивный.

Частично-поисковый.

Средства обучения:

– интерактивная доска;

– ноутбук.

Раздаточный материал:

Карточки-задания;

Учебная литература:

Олофинская, В.П. Техническая механика. – М.: ФОРУМ-ИНФРА-М, 2011

Олофинская, В.П. Техническая механика. Сборник тестовых заданий. – М.: ФОРУМ, 2011

Подготовка к занятию

1.Разбить группу на две равносильные команды.

2.Выдать задания командам:

a) Выбрать капитана;

b) Придумать название команды и ее девиз;

c) Составить кроссворд по теме «Растяжение и сжатие» (10 слов);

План учебного занятия

Организационный момент (3 минуты);

Актуализация ранее полученных знаний. (12 минут);

Актуализация материала на примере решения задач (15 минут);

Закрепление материала (55 минут);

Подведение итогов и результатов занятий (5 минут);

Ход занятия

Организационный момент. (3 минуты)

1. 1. Проверка присутствующих. Объявление темы и целей занятия. (Слайд 1)

      Представление жюри. В состав жюри входят приглашенные преподаватели. (По ходу занятия члены жюри вносят баллы в итоговую ведомость – приложение 1).

      Знакомство с командами. Визитная карточка. (5 баллов)

Актуализация ранее полученных знаний. (12 минут)

Мы изучили тему «Растяжение и сжатие прямого бруса» в разделе «Сопротивление материалов». Познакомились с основными понятиями и определениями. Изучили методику нахождения величины внутренних усилий. Рассмотрели принципы построения эпюр. Сегодня мы в течение занятия повторим эту тему, обобщим и систематизируем полученные знания, отработаем навыки вычисления внутренних усилий и напряжений и построения их эпюр. Работать будем в командах. Но, прежде, чем приступить к решению, давайте повторим теоретический материал.

Разминка (фронтальный опрос).

Сейчас мы с вами проведем небольшой блиц-опрос по теме «Растяжение и сжатие прямого бруса». Каждой команде по очереди предстоит ответить на вопросы. Право первого ответа мы разыграем с помощью интерактивного игрального кубика. Если выпадает четное число, то первой отвечает вторая команда, если нечетное – первая.

Правильный ответ – 10 баллов.

Дайте определение понятия Сопротивление материалов (Слайд 2)

Установите соответствие между понятиями и определениями (Слайд 3).

Покажите на схеме положение внутренних усилий. (Слайд 4)

Какой внутренний силовой фактор возникает при растяжении или сжатии? (Слайд 5)

Какой метод используется для определения продольной силы? (Слайд 6).

Установите порядок выполнения действий метода сечений? (Слайд 7).

Как называется диаграмма, график, показывающий изменение какой-либо величины по длине бруса. (Слайд 8).

Кто вывел данную экспериментальную формулу? (Слайд 9).

Что понимается под напряжением? (Слайд 10)

Составить формулу для определения нормального напряжения при растяжении или сжатии. (Слайд 11)

3. Актуализация материала на примере решения задач (15 минут)

Ознакомиться с примером построения эпюр продольных сил, напряжений и перемещений. (Слайд 12)

Задача 1. Двухступенчатый стальной брус нагружен силами F 1 =30 кН F 2 =40 кН.

l свободного конца бруса, приняв Е=2∙10 5 МПа. Площади поперечных сечений А 1 =1,5см 2 ;А 2 =2см 2 .

Разбить брус на участки, начиная от свободного конца. Границами участков являются сечения, в которых приложены внешние силы, а для напряжений также и место изменения размеров поперечного сечения.

Определить по методу сечений продольную силу для каждого участка (ординаты эпюры N ) и построить эпюры продольных сил N . Проведя – параллельно оси бруса базовую (нулевую) линию эпюры, отложить перпендикулярно ей в произвольном масштабе получаемые значения ординат. Через концы ординат провести линии, проставить знаки и заштриховать эпюру линиями, параллельными ординатам.

Для построения эпюры нормальных напряжений определяем напряжения в поперечных сечениях каждого из участков. В пределах каждого участка напряжения постоянные, т.е. эпюра на данном участке изображается прямой, параллельной оси бруса.

Перемещение свободного конца бруса определяем как сумму удлинений (укорочений) участков бруса, вычисленных по формуле Гука.

Разбиваем брус на участки.

Определяем ординаты эпюры N на участках бруса:

N 1 = - F 1 = -30кН

N 2 = - F 2 = -30кН

N 3 = -F 1 +F 2 = -30+40=10 кН

Строим эпюру продольных сил

Вычисляем ординаты эпюры нормальных напряжений

σ 1 ==
= –200МПа

σ 2 ==
= –150МПа

σ 3 ==
= 50МПа

Строим эпюры нормальных напряжений.

4. Проверяем прочность бруса, если допускаемое напряжение [σ ] = 160 МПа.

Выбираем максимальное по модулю расчетное напряжение. Iσ max I = 200 МПа

Подставляем в условие прочности Iσ max I ≤ [σ ]

200 МПа ≤ 160 МПа. Делаем вывод, что прочность не обеспечена.

5. Определяем перемещение свободного конца бруса Е = 2∙10 5 МПа.

∆l =∆l 1 +∆l 2 +∆l 3

∆l 1 =
=
= – 0,5мм

∆l 2 =
=
= – 0,225мм

∆l 3 =
=
= 0,05мм

∆l = - 0,5 – 0,225 + 0,05 = – 0,675мм

Брус укоротился на 0,675мм

Закрепление материала. (55 минут) (Слайд 13, Слайд 14)

Задание – эстафета (25 минут)

Двухступенчатый стальной брус нагружен силами F 1 , F 2 .

Построить эпюры продольных сил и нормальных напряжений по длине бруса. Проверить прочность бруса, если допускаемое напряжение [σ ] = 160 МПа. Определить перемещение ∆l свободного конца бруса, приняв Е=2∙10 5 МПа. Площади поперечных сечений А 1 =5 см 2 ;А 2 =10 см 2 . Длина l = 0,5 м. Первая команда F 1 = 50 кН, F 2 = 30 кН. Вторая команда F 1 = 30 кН, F 2 = 50 кН.

F 1

l l l

l l l

Задание каждого этапа эстафеты – 5 баллов

1 этап эстафеты (по 1 человеку от команды)

Разбить брус на участки. Пронумеровать эти участки.

2 этап эстафеты (по 1 человеку от команды)

Найти величину продольной силы на первом участке.

3 этап эстафеты (по 1 человеку от команды)

Найти величину продольной силы на втором участке.

4 этап эстафеты (по 1 человеку от команды)

Найти величину продольной силы на третьем участке.

5 этап эстафеты (по 1 человеку от команды)

Построить эпюру для продольной силы.

6 этап эстафеты (по 1 человеку от команды)

Найти величину нормального напряжения на первом участке.

7 этап эстафеты (по 1 человеку от команды)

Найти величину нормального напряжения на втором участке.

8 этап эстафеты (по 1 человеку от команды)

Найти величину нормального напряжения на третьем участке.

9 этап эстафеты (по 1 человеку от команды)

Построить эпюру для нормального напряжения.

10 этап эстафеты (по 1 человеку от команды)

Проверить прочность бруса. Допускаемое напряжение [σ ] = 160 МПа.

11 этап эстафеты (конкурс капитанов) – 10 баллов

Определить перемещение свободного конца бруса.

1. Работа в группах (Карточки с заданиями) (10 минут) (Слайд 15)

Каждой команде необходимо выполнить задание. Задания мы разыграем с помощью интерактивного игрального кубика. Если выпадает нечетное число, то первое задание достается первой команде, если четное – то второй. Второе задание автоматически переходит к другой команде. Время выполнения – 10 минут задано на интерактивном таймере. (Карточки – задания приложение 2)

1. Разгадывание кроссвордов. (10 минут) (Слайд 16)

Команды отгадывают кроссворд, составленный соперниками. Время разгадывания – 10 минут задано на интерактивном таймере.

Каждый правильный ответ 5 баллов.

1. Творческое задание. (10 минут) (Слайд 17)

Сочинить стихотворение со словами:

Растяжение

Сжатие

Эпюра

Сила

Прочность

Выполнение данного задания - 10 баллов.

Подведение итогов (5 минут) (Слайд 18)

Заполнить таблицу:

Я знал

Я узнал

Я хочу узнать

Пока обучающиеся заполняют таблицу, жюри подсчитывает количество баллов, набранное каждой командой.

Объявление победителей. Выставление оценок.

Спасибо за работу на занятии! (Слайд 19)

Приложения

Приложение 1.

Итоговая ведомость

Вид задания

1 команда

Название

Капитан

2 команда

Название

Капитан

Визитная карточка команды

Максимальное количество баллов - 5

Фронтальный опрос

За каждый правильный ответ

Эстафета

1 этап эстафеты

Максимальное количество баллов – 5

2 этап эстафеты

Максимальное количество баллов – 5

3 этап эстафеты

Максимальное количество баллов – 5

4 этап эстафеты

Максимальное количество баллов – 5

5 этап эстафеты

Максимальное количество баллов – 5

6 этап эстафеты

Максимальное количество баллов – 5

7 этап эстафеты

Максимальное количество баллов – 5

8 этап эстафеты

Максимальное количество баллов – 5

9 этап эстафеты

Максимальное количество баллов – 5

10 этап эстафеты

Максимальное количество баллов – 5

11 этап эстафеты (конкурс капитанов)

Работа в группах (карточки с заданиями)

Максимальное количество баллов – 10

Разгадывание кроссвордов

Решение.

1. Построение эпюры N.

На брус действуют три си­лы, следовательно, про­­до­льная си­ла по его длине будет изменяться. Разбиваем брус на участки, в пределах которых про­­до­льная сила будет постоянной. В данном случае границами участков являются сечения, в ко­­торых приложены силы. Обозначим сечения буквами А, В, С, D, начиная со свободного конца, в данном случае правого.

Для определения продольной силы на каждом участке рассматриваем про­извольное поперечное сечение, сила в котором определяется по пра­вилу, приведенному ранее. Чтобы не определять предварительно реакцию в заделке D , начинаем расчеты со свободного конца бруса А .

Участок АВ , сечение 1-1 . Справа от сечения действует растягивающая сила P 1 (рис. 15, а ). В соответствии с упомянутым ранее правилом, по­лу­ча­ем

N AB =+P 1 =40 кН.

Участок ВС , сечение 2-2 . Справа от него расположены две силы, на­правленные в разные стороны. С учетом правила знаков, получим

N B С =+P 1 -P 2 =40-90=-50 кН.

Участок СD , сечение 3-3: аналогично получаем

N С D =+P 1 -P 2 -P 3 =40-90-110=-160 кН.

По найденным значениям N в выбранном масштабе строим эпюру, учи­тывая, что в пределах каждого участка продольная сила постоянна (рис.15,б )

Положительные значения N откладываем вверх от оси эпюры, отри­ца­тель­ные - вниз.

2. Построение эпюры напряжений σ .

Вычисляем напряжения в поперечном сечении для каждого участка бруса:

При вычислении нормальных напряжений значения продольных сил N берутся по эпюре с учетом их знаков. Знак плюс соответствует растя­же­нию, минус - сжатию. Эпюра напряжений показана на рис. 15, в .

3. Построение эпюры продольных перемещений.

Для построения эпюры перемещений вычисляем абсолютные удли­нения отдельных участков бруса, используя закон Гука:

Определяем перемещения сечений, начиная с неподвижного за­кре­плен­ного конца. Сечение D расположено в заделке, оно не может сме­щать­ся и его пере­мещение равно нулю:

Сечение С переместится в результате изменения длины участка CD. Пе­ремещение сечения С определяется по формуле

∆ C =∆l CD =-6,7∙10 -4 м.

При отрицательной (сжимающей) силе точка С сместится влево.

Пере­мещение сечения В является результатом изменения длин DC и CB . Скл­а­дывая их удлинения, получаем

∆ B =∆l CD +∆l BC =-6,7∙10 -4 -2,1∙10 -4 = -8,8∙10 -4 м.

Рассуждая аналогично, вычисляем перемещение сечения А :

∆ A =∆l CD +∆l BC +∆l AB =-6,7∙10 -4 -2,1∙10 -4 +0,57∙10 -4 = -8,23∙10 -4 м.

В выбранном масштабе откладываем от исходной оси значения вычис­лен­ных перемещений. Соединив полученные точки прямыми линиями, стр­о­­­им эпю­ру перемещений (рис.15, г ).

4. Проверка прочности бруса.

Условие прочности записывается в следующем виде:

Максимальное напряжение σ max находим по эпюре напряжений, выби­рая максимальное по абсолютной величине:

σ max =267 Мпа.

Это напряжение действует на участке DC , все сечения которого являются опасным.

Допускаемое напряжение вычисляем по формуле:

Сравнивая σ max и [σ], видим, что условие прочности не выполняется, так как максимальное напряжение превышает допускаемое.

Пример 4

Подобрать из условий прочности и жесткости размеры прямоугольного поперечного сечения чугунного стержня (см. рис. 16, а ).

Дано: F=40 кН; l =0,4 м; [σ p ]=350 Мпа; [σ с ]=800 Мпа; Е=1,2∙10 5 МПа; [∆l]=l/200; h/b=2, где h – высота, b – ширина поперечного сечения.

Рис.16

Решение.

1. Построение эпюры внутренних усилий N

Стержень разделен на 3 участка в зависимости от изменения внешней нагрузки и площади поперечного сечения. Применяя метод сечений, определяем продольную силу на каждом участке.

На участке 1: N 1 =-F=-40 кН.

На участке 2: N 2 =-F+3F=2F=80 кН.

На участке 3: N 3 =-F+3F-2F=F=40 кН.

Эпюра N приведена на рис. 16, б .

2. Построение эпюры нормальных напряжений

Найдем напряжения на участках стержня.

На участке 1:

На участке 2:

На участке 3:

Эпюра σ приведена на рис. 16, в .

3. Нахождение площади поперечного сечения из условия прочности

Наибольшие растягивающие напряжения возникают на участке 2, наибольшие сжимающие напряжения – на участке 1. Для вычисления площади поперечного сечения используем условия прочности σ max . p ≤[σ p ] и σ max .с ≤[σ с ].

Напряжения на участке 1 равны

Следовательно,

Напряжения на участке 2 равны

По условию прочности

Напряжения на участке 3 равны

Следовательно,

Необходимую площадь сечения следует принять из условия прочности при растяжении:

При заданном соотношении h/b=2 площадь поперечного сечения можно записать, как A=h∙b=2b 2 . Размеры поперечного сечения будут равны:

4. Нахождение площади поперечного сечения из условия жесткости

При расчете на жесткость следует учитывать, что перемещение в точке d будет равно сумме деформаций всех участков стержня. Величину абсолютной деформации для каждого участка найдем по формуле

или

На участке 1:

На участке 2:

На участке 3:

Абсолютная деформация всего стержня:

Из условия жесткости ∆l ≤[∆l ], найдем

, откуда

Размеры поперечного сечения будут равны:

Сопоставляя результаты расчета на прочность и жесткость, принимаем большее значение площади поперечного сечения A=2,65 см 2 .

5. Построение эпюры перемещений 𝜆

Для определения перемещения любого сечения стержня строят эпюру перемещений𝜆 . За начало отсчета принимаем сечение в заделке, так как перемещение этого сечения равно нулю. При построении эпюры последовательно определяем перемещения характерных сечений стержня, которые равны алгебраической сумме изменений длин всех участков от начала отсчета до рассматриваемого сечения.

Сечение а:

Сечение b:

Сечение с:

Сечение d:

Эпюра перемещений λ представлена на рис.16, г .

Пример 5

Для ступенчатого бруса (рис. 17, а ) при Е=2∙10 5 Мпа, σ Т = 240 МПа, требуется определить:

1. Внутренние продольные силы по его длине и построить эпюру продольных сил.

2. Нормальные напряжения в поперечных сечениях и построить эпюру нормальных напряжений.

3. Запас прочности для опасного сечения.

4. Перемещения сечений и построить эпюру перемещений.

Дано: F 1 = 30кН; F 2 = 20кН; F 3 = 60 кН; l 1 = 0,5м; l 2 = 1,5м; l 3 = 1м; l 4 = 1м; l 5 = l 6 = 1м; d 1 = 4см; d 2 = 2см.

Рис.17

Решение.

1. Определение продольных сил в характерных сечениях бруса, и построение эпюры продольных сил.

Изображаем расчетную схему (рис. 17,а ) и определяем реакцию опоры в заделке, которую направляем с внешней стороны заделки влево. Если в результате определения реакции R В окажется отрицательной, то это указывает на то, что ее направление противоположно. Ступенчатый брус под действием сил F 1 , F 2 , F 3 и реакции R В находятся в равновесии, поэтому для определения R В достаточно составить одно уравнение проекций всех сил на ось х , совпадающую с осью бруса.

ΣF ix =-F 1 -F 2 +F 3 -R B =0

Откуда R B =-F 1 -F 2 +F 3 =-30-20+60=10 кН

Разграничим брус на участки. Границами участков являются сечения, в которых приложены внешние силы, а для напряжений также и места изменения размеров поперечного сечения (рис. 17,а)

Пользуясь методом сечений, определяем для каждого участка величину и знак продольной силы. Проведем сечение 1–1 и рассмотрим равновесие правой отсеченной части бруса (рис. 17,б). Внутренние силы в каждом сечении условно направляем в сторону отброшенной части. Если внутренняя продольная сила положительна на участке, имеет место деформация растяжения; отрицательна – сжатие.

Рассматривая правую отсеченную часть, находим

ΣF ix =-N 1 -R B =0; N 1 =-R B =-10 кН (сжатие)

Значение продольной силы в пределах первого участка не зависит от того, какую из отсеченных частей мы рассматривали. Целесообразнее всегда рассматривать ту часть бруса, к которой приложено меньше сил. Проведя сечения в пределах второго, третьего и четвертого участков, аналогично найдем:

для сечения 2–2 (рис. 17,в)

ΣF ix =-N 2 +F 3 -R B =0; N 2 =F 3 -R B =60-10=50 кН (растяжение).

для сечения 3–3, рассматриваем левую часть бруса (рис. 17,г)

ΣF ix =-F 1 -N 3 =0; N 3 =F 1 =30 кН (растяжение).

для сечения 4–4 (рис. 17,д)

ΣF ix =N 4 =0; N 4 =0 эта часть бруса не испытывает деформации.

После определения внутренних продольных сил в характерных сечениях, строят график их распределения по длине бруса. График, показывающий, как изменяются продольные силы (N ) при переходе от одного сечения к другому, т.е. график, изображающий закон изменения N вдоль оси бруса, называется эпюрой продольных сил .

Эпюра продольной силы строится в следующей последовательности. В разграниченном на участки брусе провести через точки приложения внешних сил линии, перпендикулярные его оси. На некотором расстоянии от оси бруса провести линию параллельную его оси: на перпендикуляре к этой линии отложить в выбранном масштабе отрезок, соответствующий продольной силе для каждого участка: положительные вверх от оси эпюры, отрицательные – вниз. Через концы отрезков провести линии, параллельные оси. Ось эпюры проводят тонкой линией, а саму эпюру очерчивают толстыми линиями, эпюру штрихуют тонкими линиями, перпендикулярными ее оси. В масштабе каждая линия равна продольной силе в соответствующем сечении бруса. На эпюре указывают знаки плюс и минус и в характерных ее точках, где изменяется сила, проставляют ее значение. В сечениях, в которых приложены сосредоточенные силы, на эпюре имеются скачки – резкое изменение продольной силы "Скачок" продольной силы равен внешней силе, приложенной в данном сечении, что является проверкой правильности построенной эпюры. На (рис. 18,б) построена эпюра продольных сил для заданного ступенчатого бруса.

2. Определение нормальных напряжений в поперечных сечениях бруса и построение эпюры нормальных напряжений.

Нормальные напряжения на каждом участке определяем по формуле σ=N/A, подставляя в ее значение сил (в Н ) и площадей (в мм 2 ). Площади поперечных сечений бруса определяем по формуле A=πd 2 /4

Нормальные напряжения на участках I–VI равны соответственно:

I. т.к. N 4 = 0

В пределах каждого участка напряжение одинаково, так как одинаковы во всех сечениях значения продольной силы и площади поперечного сечения. Эпюра σ очерчена прямыми, параллельными ее оси. Построение по вычисленным значениям эпюры представлена на (рис. 18,в).

3. Определение запаса прочности для опасного сечения.

Из эпюры нормальных напряжений, построенной по длине бруса видно, что наибольшее напряжение возникает в пределах четвертого участка σ max =159,2 Н/мм 2 , следовательно, запас прочности

4. Определение перемещений сечений и построение эпюры перемещений.

Для построения эпюры перемещений достаточно определить перемещения крайних сечений каждого участка. Перемещение сечения определим как алгебраическую сумму деформаций участков стержня, расположенных между этим сечением и заделкой, т.е. неподвижным сечением.

Абсолютные перемещения сечений вычислим по формулам:

Эпюра продольных перемещений представлена на (рис. 18,г). В случае проверки жесткости следует сравнить полученное максимальное значение ∆l = 1,55 мм с допускаемым [∆l ] для данного бруса.

Рис.18

Пример 6

Для ступенчатого бруса (рис.19) требуется:

1. Построить эпюру продольных сил

2. Определить нормальные напряжения в поперечных сечениях и построить эпюру

3. Построить эпюру перемещений поперечных сечений.

Дано:

Рис.19

Решение.

1. Определим нормальные усилия

Участок AB :

Участок BC :

Участок CD :

Эпюра продольных сил показана на рис.20.

2. Определим нормальные напряжения

Участок AB :

Участок BC :

Участок CD :

Эпюра нормальных напряжений σ показана на рис.20.

3. Определим перемещения поперечных сечений

Эпюра перемещений δ показана на рис.20.

Рис.20

Пример 7

Для ступенчатого стального стержня (рис.21) требуется:

1. Построить эпюры продольных сил N и нормальных напряжений σ.

2. Определить продольную деформацию стержня ∆l .

Е = 2∙10 5 МПа; А 1 = 120 мм 2 ; А 2 = 80 мм 2 ; А 3 = 80 мм 2 ; а 1 = 0,1 м; а 2 = 0,2 м; а 3 = 0,2 м; F 1 = 12 кН; F 2 = 18 кН; F 3 = -12 кН.

Решение.

1. Построение эпюр N и σ

Применяем метод сечений.

Участок 1.

ΣХ = 0 → -N 1 + F 1 = 0; N 1 = F 1 = 12 кН;

Участок 2.

ΣХ = 0 → -N 2 + F 2 + F 1 = 0;

N 2 = F 2 + F 1 = 18 + 12 = 30 кН;

Участок 3

ΣХ = 0 → - N 3 - F 3 + F 2 + F 1 = 0;

N 3 = - F 3 + F 2 + F 1 = -12 + 18 + 12 = 18 кН;

2. Расчетная схема с истинным направлением внешней нагрузки и расчетными эпюрами.

Рис.21

3. Определение продольной деформации стержня

Пример 8

Для бруса, жестко заделанного обоими концами и нагруженного вдоль оси силами F 1 и F 2 приложенными в его промежуточных сечениях (рис. 22,а ), требуется

1) Построить эпюры продольных сил,

2) Построить эпюры нормальных напряжений

3) Построить эпюры перемещений поперечных сечений

4) Проверить прочность бруса.

Дано: если материал – сталь ст.3, F = 80 кН, σ т = 240 МПа, А = 4 см 2 , а = 1 м, требуемый коэффициент запаса [n ] = 1,4, Е = 2∙10 5 МПа.

Рис.22

Решение.

1. Статическая сторона задачи .

Поскольку силы F 1 и F 2 действуют вдоль оси стержня на его концах, под действием сил F 1 и F 2 в заделках могут возникнуть только горизонтальные опорные реакции R А и R В . В данном случае имеем систему сил, направленных по одной прямой (рис. 22,а ), для которой статика дает лишь одно уравнение равновесия.

ΣF ix = -R А + F 1 + F 2 – R В = 0; R А + R В = F 1 + F 2 = 3F (1)

Неизвестных реактивных сил две R А и R В , следовательно, система один раз статически неопределима, т.е. необходимо составить одно дополнительное уравнение перемещений.

2. Геометрическая сторона задачи .

Для раскрытия статической неопределимости, т.е. составления уравнения перемещений, отбросим одну из заделок, например правую (рис. 22,б ). Получаем статически определимый брус, заделанный одним концом. Такой брус называют основной системой. Действие отброшенной опоры заменяем реакцией R В = Х . В результате имеем статически определимый брус, нагруженный кроме заданных сил F 1 и F 2 неизвестной реактивной силой R В = Х . Этот статически определимый брус нагружен так же как заданный статически неопределимый, т.е. эквивалентен ему. Эквивалентность этих двух брусьев позволяет утверждать, что второй брус деформируется так же, как первый, т.е. перемещение ∆ В – сечения В равно нулю, так как фактически (в заданном брусе) оно жестко заделано: ∆ В = 0.

На основе принципа независимости действия сил (результатом действия на тело системы сил не зависит от последовательности их приложения и равен сумме результатов действия каждой силы в отдельности) перемещение сечения В представим как алгебраическую сумму перемещений от сил F 1 , F 2 и Х , т.е. уравнение совместности деформаций примет вид:

∆ B =∆ BF1 +∆ BF2 +∆ BX =0 (2)

В обозначениях перемещений первая буква индекса указывает о перемещении какого сечения идет речь; вторая – причину, вызывающую это перемещение (силы F 1 , F 2 и Х ).

3. Физическая сторона задачи .

На основании закона Гука выражаем перемещения сечения В, через действующие силы F 1 , F 2 и неизвестную реакцию Х .

На (рис. 22, в, г, д ), показаны схемы нагружения бруса каждой из сил в отдельности и перемещения сечения В от этих сил.

Пользуясь этими схемами, определяем перемещения:

равно удлинению участка АС ;

равно удлинению участков АД и ДЕ ;

равно сумме укорочений участков АД, ДК, КВ.

4. Синтез.

Подставим значения , , в уравнение (2), имеем

Следовательно:

Подставляя R В в уравнение (1), получим:

R А + 66,7 =3∙80 = 240

отсюда R А =240–66,7=173,3 кН, R А = 173,3 кН, таким образом, статическая неопределимость раскрыта – имеем статически определимый брус, заделанный одним концом, нагруженный известными силами F 1 , F 2 и Х = 66,7 кН.

Эпюру продольных сил строим как для статически определимого бруса. На основании метода сечений внутренние продольные силы в характерных участках равны:

N АС = R А = 173,3 кН;

N СЕ = R А - 2F = 173,3 - 80∙2 = 13,3 кН;

N ЕВ = -R А = - 66,7 кН.

Эпюра продольных сил представлена на (рис. 22, е ). Значения нормальных напряжений в характерных сечениях определяем по формуле

Для участка АС

для участка СД

для участка ДЕ

для участка ЕК

для участка КВ

В пределах каждого из участников напряжения постоянны, т.е. эпюра "σ" – прямая, параллельная оси бруса (рис.22, ж ).

При расчете на прочность интерес представляют те сечения, в которых возникают наибольшие напряжения. В рассмотренном примере они не совпадают с теми сечениями, в которых продольные силы максимальны, наибольшее напряжение возникает на участке ЕК , где σ мах = - 166,8 МПа.

Из условия задачи следует, что предельное напряжение для бруса

σ пред = σ т = 240 МПа, поэтому допускаемое напряжение

Отсюда следует, что расчетное напряжение σ = 166,8 МПа < 171,4 МПа, т.е. условие прочности выполняется. Разница между расчетным напряжением и допускаемым составляет:

Перегрузка или недогрузка допускается в пределах ±5%.

При построении эпюры перемещений достаточно определить перемещения сечений совпадающих с границами участков, так как между указанными сечениями эпюра ∆l имеет линейный характер. Начинаем строить эпюру перемещений от левого защемленного конца бруса, в котором ∆ А = 0; так как оно неподвижно.

Итак, на правом конце бруса в сечении В , ордината эпюры ∆l равна нулю, так как в заданном брусе это сечение жестко защемлено, по вычисленным значениям построена эпюра ∆l (рис.22, з).

Пример 9

Для составного ступенчатого бруса, состоящего из меди и стали и нагруженного сосредоточенной силой F (рис. 23,а ), определить внутренние продольные силы и построить их эпюры, если известны модули упругости материала: для стали E c , для меди E M .

Рис.23

Решение.

1. Составляют уравнение статического равновесия:

ΣZ=0;R B -F+R D =0. (1)

Задача один раз статически неопределима, поскольку обе реакции могут быть определены только из одного уравнения.

2. Условие совместности перемещений должно выразить тот факт, что общая длина бруса не меняется, т.е. перемещения, например, сечения

Используя закон Гука σ=Eε, с учетом того факта, что перемещения какого-либо поперечного сечения бруса численно равны удлинению или укорочению его участков, расположенных между заделкойBи «перемещающимся» сечениемD, преобразуют уравнение (2) к виду:

Отсюда R D =0,33F. (4)

Подставив (4) в (1), определяют

R B =F-R D =F-0,33F=0,67F. (5)

Тогда, применив метод сечений, согласно выражению N i =ΣF i , получают:

N DC =-R D ;N BC =R B .

Приняв для наглядности решения

l M =l ; l c =2l ; A M =4A C ; E C =2E M .

с учетом (4) получают N DC =-R D = -0,33F,

a с учетом (5) получают N BC =R B =0,67F.

Эпюра продольных сил N показана на рис. 16, б.

Расчет на прочность после этого выполняют согласно условию прочности

Пример 10

Брус ступенчато-переменного сечения, расчетная схема которого показана на рисунке 24, находится в условиях центрального (осевого) растяжения-сжатия под действием заданной нагрузки.

Требуется:

1) Раскрыть статическую неопределимость;

2) Построить эпюры нормальных сил и нормальных напряжений (в буквенном выражении величин);

3) Подобрать сечение бруса по условию прочности;

4) Построить эпюру продольных перемещений поперечных сечений.

Влиянием собственного веса бруса пренебречь, опорные устройства считать абсолютно жесткими.

материал – чугун, допускаемые напряжения (расчетные сопротивления):

Принять: для чугуна

Параметр Fподлежит определению из условий прочности, а параметрP при выполнении п.3 задания, принять.

Рис. 1.3 Стержень

Порядок построения эпюр:

1. Определяем реакции опор.

2. Разбиваем стержень на участки.

Участок - часть стержня между точками приложения сосредоточенных сил, включая опорные реакции.

3. Записываем аналитические выражения для внутренних силовых факторов.

4. Строим график (эпюру) (рис. 1.4).

Рис. 1.4 Построение эпюры нормальных сил

Эпюра - график, заштрихованный линиями, перпендикулярными оси.

Используя метод РОЗУ, отбрасывают ту часть, где больше нагрузки.

Внутренний фактор - равнодействующая внутренних сил.

N z2 = P-3P = -2P

Nz2 = P-3P = -2P

Пример 2 (рис. 1.5).

Построить эпюру нормальных сил N.

q - интенсивность равномерно - распределенной нагрузки.

Опасное сечение в заделке, т.к. там самое большое значение N.

Рис. 1.5 Построение эпюры нормальных сил

Построим эпюру нормальных сил

Построение эпюр крутящих моментов

Под кручением понимается такой вид нагружения, при котором в поперечных сечениях стержня возникает только крутящий момент, а прочие силовые факторы равны нулю. Для крутящего момента, независимо от формы сечения, принято следующее правило знаков.

Рис. 1.6 Правило знаков для крутящего момента

Если со стороны внешней нормали к сечению вращение осуществляется против часовой стрелки, то крутящий момент положительный (рис.1.6).

Правило знаков носит формальный характер (можно установить произвольно).

Стержень, в основном работающий на кручение, называется валом .

Рис.1.7 Схематичное изображение крутящего момента (против часовой стрелки).

Пример (К - 1)

Построить эпюру крутящих моментов (рис 1.9).

Рис.1.9 Построение эпюры крутящих моментов

Пример на построение эпюры крутящих моментов (рис 1.10).

Рис. 1.10 Построение эпюры крутящих моментов

Построение эпюр поперечных сил Q и изгибающих моментов M для балок

Балка - стержень, в основном работающий на изгиб. При расчете балку принято заменять ее осью, все нагрузки приводятся к этой оси, а силовая плоскость будет совпадать с плоскостью чертежа.

Вал - стержень в основном работающий на кручение.

Виды опор:

Шарнирно-подвижная опора - опора, в которой может возникать только одна составляющая реакции, направленная вдоль опорного стержня (рис.1.11).

Рис. 1.11 Шарнирно-подвижная опора

Шарнирно-неподвижная опора - опора, в которой могут возникать две составляющие реакции: вертикальная и горизонтальная (рис.1.12).

Рис.1.13 Заделка

+`Q

+`Q

-`Q

-`Q

+`Q

+`Q

1.3.2 Правило знаков для М

Эпюру для М строят на сжатых волокнах.

Рис. 1.14 Расчетная схема

Вычислим реакции опор.

Освободим балку от связей и заменим их действие реакциями.

Y: R A - P - q · 2a + R B = 0

Составим уравнения равновесия:

Сумма моментов всех сил относительно точки А равна

Сумма моментов всех сил относительно точки В равна

Разделим балку на четыре участка. Применим метод сечений на каждом из участков и запишем выражения для внутренних усилий

Внутренние усилия на втором участке равны

На третьем участке

Внутренние усилия на четвертом участке равны

Строим эпюры для M и Q (рис 1.15). Для проверки правильности полученных эпюр могут быть использованы следствия из дифференциальных зависимостей между Q и M.

Рис. 1.15 Построение эпюр Q и M

Дифференциальные зависимости при изгибе

Пусть стержень закреплен произвольным образом и нагружен распределенной нагрузкой q = f(z), принятое направление q считать положительным (рис. 2.1).

Рис. 2.1 Стержень с распределенной нагрузкой

Выделим из стержня элемент длиной dz и в проведенных сечениях приложим моменты M и M + dM, а также поперечные силы Q и Q + dQ (рис. 2.2). В пределах малого отрезка dz нагрузку q можно считать равномерно распределенной.

Рис. 2.2 Элемент длиной dz стержня

Приравниваем нулю сумму проекций всех сил на вертикальную ось y и сумму моментов относительно поперечной оси:

После упрощения получим:

Из полученных соотношений можно сделать некоторые общие выводы о характере эпюр изгибающих моментов и поперечных сил для прямого стержня.

Правила проверки эпюр

1. Если на участке отсутствует распределенная нагрузка, то есть q = 0, = > Q = const = C 1 ; => M = C 1 × z + D 1 , то эпюра поперечных сил постоянна, а эпюра изгибающих моментов М изменяется по линейному закону (рис. 2.3).

Рис. 2.3 Эпюра поперечных сил и изгибающих моментов

2. Если в сечении приложена сосредоточенная сила, то на эпюре Q скачек на величину этой силы, от начала предыдущего, до начала следующего. А на эпюре М излом, направленный навстречу этой силе.

3. Если первая производная положительная, то момент возрастает слева направо, если отрицательная, то наоборот: +Q => M- -Q => M¯.

Если в сечении приложен сосредоточенный момент М i , то на эпюре Q нет никаких изменений, а на эпюре М скачек на величину этого момента (рис. 2.4).

Рис. 2.4 Эпюра поперечных сил и изгибающих моментов

Если на участке приложена равномерно распределенная нагрузка q = const, то Q - наклонная прямая, а М - парабола, выпуклость которой направлена навстречу нагрузке (рис. 2.5).

Рис. 2.5 Эпюра поперечных сил и изгибающих моментов

6. Если на участке эпюра Q меняет знак и пересекает ось, то эпюра М имеет экстремум в точке пересечения Q с осью.

7. Если ветви эпюры Q сопрягаются без скачка на границах участка, то ветви эпюры М на границе этих же участков сопрягаются без изломов (рис. 2.6).

Рис. 2.6 Эпюра поперечных сил и изгибающих моментов

8. Если на участке стержня Q равна нулю, то (рис. 2.7)

Рис. 2.7 Эпюра поперечных сил и изгибающих моментов

Введем оси координат Ox, Oy, Oz. Выделим элементарную площадку DF в плоскости поперечного сечения бруса (рис. 3.1). На нее действует произвольная сила, которая может быть разложена на составляющие DN (DNûëxOy) и DT (DTÎxOy).

Рис. 3.3 Связь между напряжениями и внутренними усилиями

Деформации

Ни один из существующих в природе материалов не является абсолютно твердым; под действием внешних сил все тела в той или иной мере меняют свою форму(деформируются).

Изменение формы напряженного тела существенно влияет на распределение в нем внутренних сил, хотя само по себе это изменение формы является, как правило, незначительным и обнаруживается в большинстве случаев только при помощи чувствительных приборов.

Рассмотрим основные виды деформации, которые учитываются при решении задач в сопротивлении материалов.

ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ ТУЛЬСКОЙ ОБЛАСТИ

ТУЛЬСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ МАШИНОСТРОИТЕЛЬНЫЙ

КОЛЛЕДЖ ИМЕНИ НИКИТЫ ДЕМИДОВА

Е. В. МЕЛЬНИКОВА

ПОСТРОЕНИЕ ЭПЮР ПРОДОЛЬНЫХ СИЛ СТЕРЖНЯ

ПРАКТИКУМ

ДЛЯ СТУДЕНТОВ, ОСВАИВАЮЩИХ ПО ДНЕВНОЙ ФОРМЕ ОБУЧЕНИЯ СПЕЦИАЛЬНОСТИ: 220703 АВТОМАТИЗАЦИЯ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ И ПРОИЗВОДСТВ (ПО ОТРАСЛЯМ); 151901 ТЕХНОЛОГИЯ МАШИНОСТРОЕНИЯ; 051001 ПРОФЕССИОНАЛЬНОЕ ОБУЧЕНИЕ; 150401 МЕТАЛЛУРГИЯ ЧЕРНЫХ МЕТАЛЛОВ

Тула, 2012

1 Аннотация 3

2 Теоретическое обоснование 4

3 Контрольные вопросы 5

4 Алгоритм решения задач на построение эпюр продольных сил

и нормальных напряжений, расчет абсолютного удлинения

стержня 7

5 Примеры решения задач на построение эпюр продольных сил

и нормальных напряжений, расчет абсолютного удлинения

стержня 8

6 Анализ наиболее часто встречающихся ошибок. Методические

7 Индивидуальные варианты заданий для выполнения

8 Литература 13

Аннотация

Данное пособие составлено в соответствии с требованиями государственного стандарта для специальностей «Технология машиностроения», «Автоматизация технологических процессов и производств», «Литейное производство черных и цветных металлов» и содержит теоретическое обоснование по разделу «Деформации растяжения – сжатия»; методические рекомендации по решению задач; примеры построения эпюр продольных сил и нормальных напряжений, расчетов абсолютного удлинения стержня; вариантов заданий для выполнения практических работ.

Пособие позволяет выполнить практическую работу абсолютно самостоятельно, не используя учебники и справочную литературу , практически без консультаций преподавателя.

Теоретическое обоснование

Растяжением – сжатием называется такой вид деформации, при котором в поперечном сечении бруса возникает только один внутренний силовой фактор – продольная сила N.

Прямые брусья, работающие на растяжение – сжатие, называются стержнями.

Продольной силой называется равнодействующая всех внутренних нормальных сил, возникающих в этом сечении.

Продольная сила в любом напряженном сечении бруса определяется методом сечений, т. е. она равна алгебраической сумме проекций всех внешних сил, приложенных по одну сторону от рассматриваемого сечения, на продольную ось.

Если продольная сила по всей длине бруса не постоянна, то строят эпюру «N». Эпюра – это график изменения внутреннего силового фактора по длине бруса.

Правила построения эпюр продольных сил:

1 Разбиваем брус на участки, границами которых являются сечения, где приложены внешние силы.

2 В пределах каждого участка применяют метод сечений и определяют продольную силу. При этом если внешняя сила растягивает оставленную часть стержня, т. е. направлена от сечения - продольная сила положительна; если внешняя сила сжимает оставленную часть стержня, т. е. направлена к сечению – продольная сила отрицательна.

3 Откладываем полученные значения и строим эпюру продольных сил. Если на участке не действует равномерно распределенная нагрузка, то эпюра ограничена прямой, параллельной нулевой линии.

4 Правильность построения эпюр продольных сил определяется следующим образом: в сечениях, где приложена внешняя сила, на эпюре есть «скачки», равные по величине приложенной силе.

При растяжении – сжатии в поперечных сечениях стержня возникают только нормальные напряжения. Если они по длине бруса не постоянны, то строят эпюру «s». При этом используют две гипотезы:

1 Гипотеза Бернулли – сечения плоские и нормальные к продольной оси бруса до деформации, остаются плоскими и нормальными и после деформации.

2 Принцип Сен – Венана.

Распределение напряжений зависит от способа приложения внешних сил лишь в местах, близких к месту расположения сил. На участках, достаточно удаленных от места приложения сил, распределение напряжений зависит лишь от статического эквивалента этих сил, а не от способа приложения.

Правила построения эпюр нормальных напряжений:

1 Разбиваем брус на участки, границами которых являются точки приложения внешних сил и сечения, где меняется площадь.

2 На каждом участке вычисляем нормальные напряжения по формуле

3 Строим эпюру нормальных напряжений, по которой определяем опасное сечение. При растяжении – сжатии опасным является сечение, в котором величина нормальных напряжений наибольшая.

При растяжении длина детали увеличивается, а сечение уменьшается; при сжатии – наоборот.

∆l = l – l0 - абсолютное удлинение.

e = --- - относительное удлинение или продольная деформация.

Закон Гука при растяжении – сжатии: для большинства конструкционных материалов в известных пределах нагружения продольная деформация прямо пропорциональна нормальным напряжениям.

Е – модуль упругости первого рода, величина, постоянная для каждого материала, характеризует жесткость материала, измеряется в тех же единицах, что и напряжение.

Величина абсолютного удлинения вычисляется по формуле Гука:

Контрольные вопросы

1 Какой вид деформации называется растяжением – сжатием?

2 Какие напряжения возникают в поперечных сечениях детали, и как они распределяются по сечению?

3 Для чего строятся эпюры продольных сил и нормальных напряжений?

4 Где проходят границы участков на эпюрах продольных сил и нормальных напряжений?

5 Как определяется величина продольной силы на каждом участке эпюры?

6 Как определяется величина нормального напряжения на каждом участке?

7 Как определяется знак продольной силы и нормального напряжения?

8 В каком случае деталь или участок детали испытывают деформации растяжения, в каком – сжатия?

9 Где находится опасное сечение детали при растяжении – сжатии?

10 Что называется абсолютным удлинением?

11 Что называется относительным удлинением?

12 Сформулируйте закон Гука при растяжении – сжатии.

13 Какой формулой выражается закон Гука при растяжении – сжатии?

14 Что такое модуль упругости первого рода?

15 Напишите формулу Гука.

Если ответы на контрольные вопросы не вызвали у Вас затруднений, это свидетельствует о том, что Вы достаточно хорошо усвоили теоретический материал. Далее внимательно ознакомьтесь с алгоритмом решения задач на построение эпюр продольных сил и нормальных напряжений, расчет абсолютного удлинения стержня, рассмотрите примеры решения задач и приступайте к выполнению практической работы.

УСПЕХОВ И ОТЛИЧНЫХ РЕЗУЛЬТАТОВ!!!

Индивидуальные варианты заданий к практической работе прилагаются в конце данного пособия.

Алгоритм решения задач на построение эпюр продольных сил и

нормальных напряжений, расчет абсолютного удлинения стержня

1 Разбить нулевую линию на участки для построения эпюры продольных сил. Границы участков провести в сечениях, где приложены внешние силы.

2 На каждом участке вычислить продольную силу методом сечений.

3 Отложить полученные значения и построить эпюру продольных сил. Правильность построения контролируется следующим образом: в сечениях, где к стержню приложены внешние силы, на эпюре продольных сил есть «скачки», численно равные этим силам.

4 Разбить нулевую линию на участки для построения Эпюры нормальных напряжений. Границами участков являются сечения, в которых меняется площадь и приложены внешние силы.

5 На каждом участке вычислить нормальное напряжение по формуле

В эту формулу значение продольной силы подставляется с эпюры продольных сил с учетом знака, а значение площади - с чертежа.

6 Отложить полученные значения и построить эпюру нормальных напряжений. По эпюре определить опасное сечение детали. Опасными являются сечения участка, на котором нормальные напряжения наибольшие.

7 Для каждого участка на эпюре нормальных напряжений рассчитать абсолютное удлинение по формуле Гука. В эту формулу значение продольной силы подставляют с эпюры продольных сил с учетом знака; значения длины участка и площади сечения – с чертежа детали.

8 Определить суммарную величину абсолютного удлинения для всей детали в целом. Для этого нужно найти алгебраическую сумму абсолютных удлинений всех участков. При этом если суммарная величина положительна – стержень удлинился, если отрицательна – стержень укоротился.

https://pandia.ru/text/78/131/images/image002_67.jpg" width="683" height="871 src=">

Анализ наиболее часто встречающихся ошибок.

Раздел «Растяжение – сжатие» в целом, и непосредственно решение задач подобного типа не является самым сложным в разделе «Сопротивление материалов», но, в то же время, при решении задач студентами встречается и немало трудностей. Наиболее часты следующие ошибки:

1 Неверные расчеты из – за незнания формул или их неверного применения.

Чтобы избежать подобных ошибок, прежде чем приступать к решению задач, необходимо выучить теорию деформации растяжения – сжатия, а также формулы расчета нормальных напряжений и формулу Гука.

2 Неправильно разбиты на участки нулевые линии при построении эпюр.

Следует помнить, что на эпюре продольных сил границы участков проходят в точках приложения внешних сил, а на эпюре нормальных напряжений – в точках приложения внешних сил и в сечениях, где меняется площадь стержня.

3 При построении эпюры продольных сил неправильно определен знак продольной силы.

Правило знаков следующее: если внешняя сила направлена от сечения, т. е. растягивает оставленную часть стержня – продольная сила положительна; если внешняя сила направлена к сечению, т. е. сжимает оставленную часть стержня – продольная сила отрицательна.

4 Неправильно подставлены значения в формулу нормальных напряжений.

Чтобы правильно подставить значения в формулу нормальных напряжений, нужно с участка эпюры напряжений, для которого ведется расчет, подняться на эпюру нормальных сил и посмотреть, каково значение продольной силы именно на этом участке. Затем подняться на чертеж детали и посмотреть, какова площадь сечения стержня именно на этом участке.

5 Неправильно рассчитаны значения нормальных напряжений из – за неправильного перевода единиц измерения величин, входящих в формулу напряжений.

Чтобы получить значение напряжений в мегапаскалях, в формулу нормальных напряжений продольную силу подставляют в Ньютонах, площадь сечения – в миллиметрах квадратных. Продольную силу также подставляют в формулу с учетом знака.

6 Неправильно рассчитано значение абсолютного удлинения из – за неправильной подстановки значений в формулу Гука.

При расчете абсолютного удлинения в формулу Гука продольную силу следует подставлять с эпюры продольных сил, а величину площади сечения и длины данного участка – с чертежа детали.

7 В формулу нормальных напряжений и формулу Гука вместо продольных сил подставлено значение внешних сил.

Следует помнить, что напряжение – это величина внутреннего усилия, приходящегося на единицу площади. Поэтому в формулу нормальных напряжений и в формулу Гука следует подставлять значение продольной силы для данного участка.

Задание к практической работе

Для заданной схемы нагружения построить эпюру продольных сил, эпюру изгибающих моментов, рассчитать абсолютное удлинение стержня.

Литература

1 Руководство к решению задач по теоретической механике, М.: - «Высшая школа», 2002

2 , Детали машин – М.: «Высшая школа», 2001