Изучим теперь некоторые вопросы, связанные с отношениями между множествами.

Будем говорить, что между множествами изаданоотношение (инаходятся в отношении), если некоторым (возможно всем) элементам изсоответствуют некоторые элементы из. Если множествонаходится в отношениис множеством, то будем писать:

Если при этом элементу ставится в соответствие элемент, то обозначать это будем

Определение 1.1.2. Отношение между множествамииназываетсяотображением , если каждому изпоставлен в соответствие один и только один элементиз(см. рис. 1.1.2. и 1.1.3). При специализации природы множествивозникают специальные типы отображений, которые носят особые названия “функция”," вектор-функция", "оператор", "мера", "функционал" и т.д. Мы столкнемся с ними в дальнейшем.

Для обозначения функции (отображения) из вбудем пользоваться записью

Рис.1.1.2. Отображение Рис.1.1.3.Отношение, не являющееся

отображением

Определение 1.1.3 . Если - элемент из, то отвечающий ему элементиз, называется его образом (при отображении), а множество всех тех, для которых, называется прообразоми обозначается(см.рис.1.1.4).

Рис.1.1.4. Прообраз b

Определение 1.1.4. Отображение называетсявзаимно однозначным отображением , если каждый элемент из имеет единственный образ при отображениии каждый элемент изимеет единственный прообраз при этом отображении.

Рис.1.1.5. Взаимно однозначное отображение

Мы в дальнейшем будем рассматривать только отображения, поскольку имеются приемы, сводящие многозначные отображения к однозначным, которые мы называем просто отображениями.

Понятие отображения играет важнейшую роль в математике, в частности в математическом анализе центральное место занимает понятие функции , которой называется отображение одного числового множества в другое.

1.7. Мощность множества

При исследовании отношений между множествами большой интерес представляет "объем" множеств, число элементов в них. Но разговор о числе элементов понятен и обоснован, если это число конечное. Множества, состоящие из конечного числа элементов, будем называть конечными . Однако, многие из множеств, рассматриваемых в математике, не являются конечными, например, множество действительных чисел, множество точек на плоскости, множество непрерывных функций, заданных на некотором отрезке и т.д. Для количественной характеристики бесконечных (да и конечных) множеств в теории множеств используется понятие мощности множества .

Будем говорить, что множества иимеютодинаковую мощность , если существует взаимно однозначное отображение множества на множество(заметим, что в этом случае существует и взаимно однозначное отображение множества B на множество A).

Если множества иимеют одинаковую мощность, то будем говорить, что ониэквивалентны , это обозначается: .

Пусть - произвольные множества, тогда

т.е. любое множество эквивалентно самому себе; если множество эквивалентно множеству, тоэквивалентно; если, наконец, множествоэквивалентно множеству, которое эквивалентно множеству, тоэквивалентно.

Множество, эквивалентное некоторому своему собственному подмножеству, называется бесконечным .

Если конечные множества имеют разное число элементов, то ясно, что одно из них содержит меньше элементов, чем другое. А как сравнить в этом смысле бесконечные множества? Будем говорить, что мощность множества меньше мощности множества, если существует подмножество множества, эквивалентное множеству, но сами множестваине являются эквивалентными.

Мощность конечного множества равна числу его элементов. Для бесконечных множеств понятие "мощность" является обобщением понятия "количество элементов".

Укажем некоторые, полезные для дальнейшего, классы множеств.

Множество называется счетным , если оно имеет такую же мощность как и некоторое подмножество множества (множества натуральных чисел). Счетное множество может быть конечным или бесконечным.

Бесконечное множество является счетным тогда и только тогда, когда оно эквивалентно множеству натуральных чисел .

Заметим, что любое множество, мощность которого меньше мощности бесконечного счетного множества, является конечным.

Множество действительных чисел на отрезке от нуля до единицы имеет мощность континуум , и само часто называется континуумом . Мощность этого множества больше мощности бесконечного счетного множества. Возникает вопрос: имеется ли множество, мощность которого больше мощности бесконечного счетного множества, но меньше мощности континуум. Эта задача была сформулирована в 1900 году одним из крупнейших математиков мира Давидом Гильбертом. Оказалось, что эта задача имеет несколько неожиданный ответ: можно считать, что такое множество существует, а можно считать, что его не существует. Получающиеся при этом математические теории будут непротиворечивыми. Доказательство этого факта было доложено американским ученым Коэном в 1965 году на всемирном конгрессе математиков в Москве. Отметим, что ситуация с этой задачей напоминает ситуацию с пятым постулатом Евклида: через точку, лежащую вне данной прямой можно провести только одну прямую, параллельную данной. Как показал Лобачевский, отказ от этого постулата не приводит к противоречиям. Мы можем строить геометрию, для которой этот постулат имеет место, и геометрии, для которых он не верен.

В заключение приведем несколько примеров, демонстрирующих методику доказательства эквивалентности множеств.

Пример 1.11. Множество целых чисел счетное.

Понятно, что рассматриваемое множество бесконечное (множество натуральных чисел является его подмножеством).

Для доказательства счетности множества целых чисел надо построить взаимно однозначное отображение между множеством натуральных чисел и рассматриваемым множеством. Требуемое отображение задается правилом: расположим целые числа следующим образом:

и перенумеруем их натуральными числами, присвоив им номера (они указаны рядом с рассматриваемыми целыми числами). Очевидно, что каждое целое число получит свой номер, при этом разные числа получат разные номера. Верно и обратное: для каждого натурального числа (для каждого номера) найдется и при том единственное целое число, стоящее под этим номером. Таким образом, требуемое взаимно однозначное отображение построено.

Пример 1.12 . Множество рациональных чисел счетное.

Известно, что любое рациональное число можно представить в виде несократимой дроби p/q, используя это представление расположим рациональные числа в соответствии со схемой:

. . . . . .

Перенумеруем эти числа примерно так же, как и в предыдущем примере (номера указаны сверху в скобках рядом с числами). Нетрудно убедиться в том, что сформулированное правило нумерации рациональных чисел дает требуемое взаимно однозначное отображение множества натуральных чисел в множество рациональных чисел.

Пример 1.13 . Объединение счетного множества счетных множеств есть множество счетное.

Доказательство этого факта аналогично доказательству утверждения предыдущего примера.

В заключение приведем важное для дальнейшего утверждение. Но для этого нам потребуется еще одна операция над множествами.

Прямым произведением множеств и(декартовым произведением ) называется множество всех упорядоченных пар , гдеи. Это множество обозначается. Таким образом:

Обозначим , произведениесомножителейбудем обозначать.

Теорема 1.1 . для любого бесконечного множестваБолее того.

В частности , т.е. множество точек на прямой имеет такую мощность, что и множество точек на плоскости. Более того, точек в пространстве столько, сколько и на прямой.

На этом мы заканчиваем знакомство с основными понятиями математической логики и теории множеств - основ современной математики. Отметим, что многие аспекты этих теорий остались, к сожалению, за рамками этой главы, познакомиться с ними можно, например, по и .

Отображение %%f%% называется инъективным ,

если для любых элементов %%x_1, x_2 \in X%%, %%x_1 \neq x_2%%, следует, что %%f(x_1) \neq f(x_2)%%. $$ \forall x_1, x_2 \in X~~x_1 \neq x_2 \rightarrow f(x_1) \neq f(x_2). $$

Другими словами, отображение %%f%% инъективно, если образы различных элементов из %%X%% также различны.

Пример

Функция %%f(x) = x^2%%, определенная на множестве %%\mathbb{R}%%, не является инъективной, так как при %%x_1 = -1, x_2 = 1%% получаем одно и тоже значение функции %%f(x_1) = f(x_2) = 1%%.

Сюръективное отображение

Отображение %%f%% называется сюръективным , если для всякого элемента %%y \in Y%% существует элемент %%x \in X%% с условием, что %%f(x) = y%%. $$ \forall y \in Y~\exists x \in X: f(x) = y. $$

Другими словами, отображение %%f%% сюръективно, если каждый элемент %%y \in Y%% является образом хотя бы одного элемента %%x \in X%%.

Пример

Отображение %%f(x) = \sin(x)%%, определенное на множестве %%\mathbb R%%, с множеством %%Y = [-2,2]%% не является сюръективным, т.к. для элемента %%y = 2 \in Y%% нельзя найти прообраз %%x \in X%%.

Биективное отображение

Отображение %%f%% называется биективным , если оно инъективно и сюръективно. Биективное отображение также называется взаимно однозначным или преобразованием .

Обычно, словосочетания «инъективное отображение», «сюрьективное отображение» и «биективно отображение» заменяют на «инъекция», «сюръекция» и «биекция» соответственно.

Обратное отображение

Пусть %%f: X \to Y%% — некоторая биекция и пусть %%y \in Y%%. Обозначим через %%f^{-1}(y)%% единственный элемент %%x \in X%% такой, что %%f(x) = y%%. Тем самым мы определим некоторое новое отображение %%g: Y \to X%%, которое снова является биекцией. Ее называют обратным отображением .

Пример

Пусть %%X, Y = \mathbb R%% — множество действительных чисел. Функция %%f%% задана формулой %%y = 3x + 3%%. Имеет ли данная функция обратную? Если да, то какую?

Для того чтобы узнать имеет ли данная функция обратную ей, необходимо проверить является ли она биекцией . Для этого проверим является ли данное отображение инъективным и сюръективным .

1. Проверим инъекцию. Пусть %%x_1 \neq x_2%%. Проверим, что %%f(x_1) \neq f(x_2)%%, то есть %%3 x_1 + 3 \neq 3 x_2 + 3%%. Предположим противное, %%3 x_1 + 3 = 3 x_2 + 3%%. Тогда получается, что %%x_1 = x_2%%. Получили противоречие, т.к. %%x_1 \neq x_2%%. Следовательно, %%f%% — инъекция.
2. Проверим сюръекцию . Пусть %%y \in Y = \mathbb{R}%%. Найдем элемент %%x \in X = \mathbb{R}%% c условием, что %%f(x) = y%%, то есть %%3x + 3 = y%%. В данном равенстве задан элемент %%y \in \mathbb{R}%% и нужно найти элемент %%x%%. Очевидно, что $$ x = \frac{y-3}{3} \text{ и } x \in \mathbb R $$ Следовательно, отображение %%f%% сюръективно.

Так как %%f%% — инъекция и сюръекция, то %%f%% — биекция. И, соответственно, обратным отображением является %%x = \frac{y-3}{3}%%.

Отображение - одно из основных понятий математики. Отображение есть какое-либо правило или закон соответствия множеств. Пусть и - произвольные непустые множества. Говорят, что задано отображение множества на множество (запись: или) если каждому элементу множества (поставлен соответствие единственный, однозначно определенный элемент множества (.

Элемент называется образом элемента при отображении, а элемент называется прообразом элемента при этом отображении. Образом множества элементов при отображении называется множество всех элементов вида, принадлежащих области значений. Множество всех элементов (), образы которых составляют область значений называется прообразом множества элементов (). Множество называется областью определения отображения.

Отображение называется сюръективным , когда каждый элемент множества (имеет хотя бы один прообраз множества (, т.е. , или.

Отображение называется инъективным , когда каждый элемент множества (является образом лишь одного элемента множества (, т.е. образы любых двух различных элементов множества различны, т.е. из следует.

Отображение называется биективным или взаимно однозначным , когда оно одновременно инъективно и сюръективно, т.е. каждый элемент множества является образом одного и только одного элемента множества.

Равенство двух отображений и означает по определению, что их соответствующие области совпадают (и), причем.

Произведение двух отображений и можно определить как отображение, которое каждому элементу множества ставит в соответствие элемент множества.

Отображение множества на множество иначе называется функцией на множестве со значениями во множестве. Если множества и совпадают, то биективное отображение множества на себя называется преобразованием множества. Простейшее преобразование множества - тождественное - определяется так: . Тождественное отображение, переводящее каждый элемент в себя, также называют единичным преобразованием. Если заданы преобразования и, то преобразование, являющееся результатом последовательного выполнения сначала преобразования, а затем и преобразования, называется произведением преобразований и: .

Для преобразований, и одного и того же множества справедливы следующие законы:

Коммутативный закон для произведения преобразований в общем случае не выполняется, т.е. .

Если между двумя множествами можно задать биективное отображение (установить взаимно однозначное соответствие между их элементами), то такие множества называются эквивалентными или равномощными . Конечные множества равномощны только в том случае, когда число их элементов одинаково.

Бесконечные множества также можно сравнивать между собой.

Два множества имеют одинаковую мощность или называются эквивалентными (обозначение), если между их элементами можно установить взаимно однозначное соответствие, т.е. если можно указать некоторое правило, в соответствии с которым каждому элементу одного из множеств соотносится один и только один элемент другого множества.

Если же подобное отображение невозможно, то множества имеют различную мощность; при этом оказывается, что в последнем случае, каким бы образом мы не пытались привести в соответствие элементы обоих множеств, всегда останутся лишние элементы и притом всегда от одного и того же множества, которому приписывается более высокое значение кардинального числа или говорят, что это множество имеет б?льшую мощность . Бесконечное множество и некоторое его подмножество могут быть эквивалентными. Множество, эквивалентное множеству натуральных чисел, называется счетным множеством. Для того чтобы множество было счетным, необходимо и достаточно, чтобы каждому элементу множества был поставлен в соответствие его порядковый номер. Из всякого бесконечного множества можно выделить счетное подмножество. Всякое подмножество счетного множества является счетным или конечным. Счетное множество является наиболее примитивно организованным бесконечным множеством. Декартово произведение двух счетных множеств является счетным. Объединение конечного или бесконечного числа конечных или счетных множеств является конечным или счетным множеством.

Большую роль в математике имеет установление связей между двумя множествами и , связанное с рассмотрением пар объектов, образованных из элементов первого множества и соответствующих элементов второго множества. Особое значение при этом имеет отображение множеств.

Пусть - произвольные множества. Отображением множества X в множество Y называется всякое правило f , по которому каждому элементу множества сопоставляется вполне определенный (единственный) элемент множества .

Тот факт, что f есть отображение , кратко записывают в виде: .

Применяют также обозначение . Чаще отображения обозначают буквами f , q , F .

Итак, чтобы задать отображение множества Х в множество , надо каждому элементу поставить в соответствие один и только один элемент .

Если при этом элементу х из Х сопоставлен элемент из Y , то называют образом элементах , а х – прообразом элемента при отображении , что записывается в виде .

Из определения отображения следует, что у каждого элемента из Х образ единственный, однако для элемента прообразов может быть много, а может и вообще не быть. Множество всех прообразов элемента называется его полным прообразом и обозначается через . Таким образом, .

Естественным путем определяются образ подмножества из А и прообраз подмножества из В при отображении :

Например , пусть и - отображение А в А , сопоставляющее каждому элементу а из А остаток от деления а на число 4. Тогда имеем:

В зависимости от свойств, образов и прообразов различают отображения сюръективные, инъективные и биективные.

Отображение называется сюръективным , если , т.е. каждый элемент из отображается хотя бы один элемент из Х , или при любом .

Отображение называется инъективным , если разные элементы множества Х отображаются в разные элементы множества т.е. , или является либо пустым, либо одноэлементным множеством при любом . Инъективные отображения называются также вложениями .

Отображение называется биективным , или взаимно однозначным отображением на , если оно сюръективно и инъективно, т.е. если есть одноэлементное множество при любом . В этом случае можно определить отображения , положив для любого : . Оно называетсяобратным к и обозначается в виде .

Изобразим для наглядности виды отображений.

Сюръективное Инъективное Биективное

Рисунок 12

Отображение множества А в себя называется преобразованием множества А . Биективное преобразование множества А называется подстановкой множества А .

Примером подстановки множества целых чисел может служить отображение , определенное равенством .

Заметим еще, что отображение множества А в В называют также функцией , заданной на множестве А со значениями в множестве В . При этом элемент называют значением функции точке а . Само множество А называют областью определения функции , а множество - областью значений функции .

Функцию зачастую трактуют как переменную величину , принимающую значения из В и так зависящую от переменной величины х , принимающей значения из А , что каждому значению а переменной величины х соответствует вполне определенное значение величины . При этом пишут и вместо «функция » говорят «функция ».

Рассмотрим различные отображения и определим их виды .

1) Пусть Х – множество окружностей на плоскости. Сопоставляя каждой окружности ее центр, получим отображение Х на . Это отображение не является инъективным, поскольку одна и та же точка может быть центром бесконечного множества окружностей. Но оно сюръективно, так как любая точка – центр некоторой окружности. Поэтому обратное соответствие всюду определено, сюръективно, но не функционально.

2) Соответствие является числовой функцией заданной на всем множестве действительных чисел. Множеством значений этой функции является совокупность неотрицательных чисел. Так как , то функция не сюръективна. Она и не инъективна, так как . Поэтому она не имеет обратной функции.

3) Отображение сюръективно и инъективно: для любого есть одно и только одно число такое, что . Этим числом является .

4) Отображение ( - множество неотрицательных чисел) множества в себя всюду определено, инъективно, но не сюръективно. Действительно, для дроби , выполнено .

Поэтому множеством значений этой функции является промежуток . Обратная функция определена на этом промежутке и принимает неотрицательные значения.

5) Отображение , определенное правилом является инъективным отображением. Оно не является биективным, поскольку . Однако, если таким же образом определить отображение в , то получим биективное отображение. . ; из сюръективности следует сюръективность лишь , а из инъективности следует инъективность лишь .

3. Если и - преобразования множества А , то их композиция также является преобразованием множества А .

Пусть заданы два множества X и У. Определение 2.1. Отображением f множества X в множество У, или функцией, определенной на множестве X со значениями в множестве У, называют соответствие, которое каждому элементу х£Х соотносит некоторый единственный элемент у € У. Множество X называют областью определенил функции / и обозначают D(f), элемент хбХ - аргументом функции, а элемент у £ У - зависшим* перелсенныл. При этом элемент у £ У, соответствующий элементу z £ X, именуют образом элемента х при отображении / или значением функции f в точке х и обозначают f(x). Областью значений функции / (или образом множества X при отображении /) называют множество обозначаемое Д(/). Множество X = D(f) является прообразом множества f(X) = R(f) при отображении /. При заданном элементе у £ У совокупность всех таких элементов х 6 Xу что f(x) = у, называют прообразом элемента у и обозначают /-1(у), т.е. Факту задания отображения (или функции) соответствует запись / : X У, или /: х у, или просто у = /(я). Таким образом, Часто функцию / обозначают /(ж). Обозначение функции и ее значения в точке х € X одним и тем же символом f(x) обычно не вызывает недоразумений, поскольку в каждом конкретном случае, как правило, ясно, что имеют в виду. Обозначение f(x) часто удобнее, чем f:x-+y. Например, -при аналитических преобразованиях запись f(x) = х2 удобнее по сравнению с / : х -> х2. Чтобы отличать обозначение конкретного значения f(x) функции при конкретном значении ее аргумента х от обозначения самой функции, в последнем случае иногда пишут /(я), х еХ. Итак, понятие функции состоит из трех неотъемлемых частей: 1) области определения Х\ 2) множества У, содержащего значения функции; 3) правила /, которое для каждого элемента х £ X задает единственный элемент у = f(x) £ У. На множества X и Y определение 2.1 не накладывает никаких ограничений. В зависимости от того, какими являются эти множества, получим тот или иной класс функций. Так, если Y С R, то f(x) называют действительной (или скалярной) функцией, а если У С Rn, то f(x) называют векторной функцией. Когда область определения X функции f(x) есть множество R или некоторое его подмножество, f(x) именуют функцией действительного (или вещественного) переменного. Когда и XCR.h У CR, f(x) называют действительной функцией действительного переменного. Если областью определения функции является множество натуральных чисел N= {1, 2, ...}, то ее называют последовательностью элементов множества У и обозначают Уп] или {уп}, имея в виду, что уп = /п = /(п)€У при n€ N, а при У С R - числовой последовательностью (или просто последовательностью). Подмножество является образом подмножества А С X при отображении / : X У. Для образов подмножеств Л С X и В С X справедливы соотношения а в случае Л С В Подмножество будет прообразом подмножества S С У при отображении f:X->Y. Итак, прообраз множества 5 состоит из всех тех элементов х € Xу которые функция / отображает в элементы из S, или, что то же самое, прообраз множества 5 состоит из всех прообразов элементов у G 5, т.е. Для прообразов множеств 5 С У и Г С У справедливы соотношения, и при условии S СТ /-1(S) С /-1(Г). В случае А С X отображение / : X порождает отображение /д: А Y) определяемое формулой /а(«) = f(x) для х € А. Это отображение называют сужением отображения (функции) f на множество А. Говорят также, что f является продолжением отображения (функции) fA множества А в множество Y на множество X, но обычно продолжают писать / вместо