Закон динамики вращательного движения твердого тела в проекции на ось вращения z : , гдеI z – момент инерции тела относительно оси вращения, – проекция углового ускорения на ось вращения,
– сумма проекций внешних моментов сил,
– проекция момента импульса твердого тела.

,

где – радиус вектор точки приложения силы.
,
,
– проекции момента силы. Модуль момента силы
или
, где – угол между силой и радиусом-вектором.

6-1. Тонкий однородный стержень массыm = 1 кг и длины l = 1 м может вращаться в вертикальной плоскости вокруг горизонтальной оси, проходящей через его конец. В оси действует момент сил трения М тр. = 1 Нм. Стержень приводят в горизонтальное положение и отпускают без толчка. Найдите угловое ускорение в начальный момент времени. g = 10 м/с 2 .

Ответ: 12 рад/с 2

6-2. Тонкий однородный стержень массы m и длины l может вращаться в вертикальной плоскости без трения вокруг горизонтальной оси, проходящей через его конец. Стержень располагают а) под углом  к горизонту;

б) под углом  к вертикали и отпускают без толчка. Найдите его угловое ускорение в начальный момент времени. m = 1 кг, l = 1 м,  = 30, g = 10 м/с 2 .

Ответы: а) 13 рад/с 2 ; б) 7,5 рад/с 2

6-3. Тонкий однородный стержень массыm = 1 кг и длины l = 1 м может вращаться в горизонтальной плоскости без трения вокруг вертикальной оси С , проходящей через середину стержня. К концу стержня в плоскости вращения под углом  = 30 к стержню прикладывают силу =1 Н. Найдите угловое ускорение стержня в начальный момент времени.

Ответ: 3 рад/с 2

6-4. Тонкий однородный стержень массыm и длины l может вращаться в горизонтальной плоскости вокруг вертикальной оси С , проходящей через середину стержня. В оси действует момент силы трения М тр. К концу стержня в плоскости вращения перпендикулярно стержню прикладывают силу . Найдите угловое ускорение стержня в начальный момент времени.

m = 1 кг, l = 1 м, F = 3 Н, М тр = 1 Нм.

Ответ: 6 рад/с 2

6-5. Тонкая однородная пластина в виде квадрата со сторонойb С С равен I . К середине стороны квадрата приклеили маленький грузик массы m и отпустили без толчка. В начальный момент сторона квадрата была вертикальна. Найдите угловое ускорение получившейся фигуры в начальный момент времени. m = 1 кг, I = 1
,b = 1 м, g = 10 м/с 2 .

Ответ: 4 рад/с 2

6-6. Тонкая однородная прямоугольная пластина со сторонамиb и a может вращаться без трения в вертикальной плоскости вокруг горизонтальной оси, проходящей через центр масс С . Момент инерции пластины относительно оси С равен I . К середине стороны пластины приклеили маленький грузик массы m и отпустили без толчка. В начальный момент сторона пластины была вертикальна. Найдите угловое ускорение получившейся фигуры в начальный момент времени.

m = 1 кг, I = 1
, b = 1 м, a = 2 м, g = 10 м/с 2 .

Ответ: 5 рад/с 2

6-7. Тонкий однородный стержень длиныl может вращаться в горизонтальной плоскости вокруг вертикальной оси, проходящей через середину стержня. К концу стержня приложена сила
. Чему равна проекция момента силы относительно точкиС на ось z .

l = 1 м, A = 1 Н, В = 2 Н, D = 3 Н. Ответ: –0,5 Нм

6-8. Маленький шарик поместили в точку с радиусом-вектором

а)
; б)
; в)
. Найти модуль момента силы относительно начала отсчета.

A = 1 м, В = 2 м, С = 3 м, D = 4 Н, .

Ответы: а) 14,42 Нм; б) 12,65 Нм; в) 8,94 Нм

6-9. Маленький шарик поместили в точку с радиусом-вектором
. В некоторый момент на шарик подействовали силой
. Найти проекцию момента силы относительно начала координат а) на осьх ; б) на ось y ; в) на ось z

A = 1 м, В = 2 м, С = 3 м, D = 3 Н, Е = 4 Н, G = 5 Н.

Ответы: а) –2 Нм; б) 4 Нм; в) –2 Нм

6-10. Некоторое тело вращается вокруг закрепленной оси без трения. Его момент импульса относительно оси вращения зависит от времени по закону

а)
; б)
; в)
; г)
; д)
. Через времяt =1 с тело имеет угловое ускорение . Найти момент инерции тела, если  =1 с. A = 1
, = 1 рад/с 2 .

Ответы: а) 1 кгм 2 ; б) 2 кгкг 2 ; в) 3 кгм 2 ; г) 4 кгм 2 ; д) 5 кгм 2

6-11. Тело вращается вокруг закрепленной оси с угловым ускорением, зависимость от времени которого задается графиком. Момент инерции тела относительно оси вращения равенI . Найти момент импульса тела в момент времени
с, если
с –2 . I = 1

Ответ: 1 Нмс

6-12. Тело вращается вокруг закрепленной оси с угловой скоростью, зависимость от времени которой задается графиком. Момент инерции тела относительно оси вращения равенI . Найти

а) отношение модулей моментов сил;

б) на сколько отличаются модули моментов сил,

действующих на тело в моменты времени
с и
с.
с –1 , I = 1

Ответы: а) 0,5; б) 0,5

3.1. Найти момент инерции J и момент импульса L земного шара относительно оси вращения.

3.2. Два шара одинакового радиуса R = 5 см закреплены на концах невесомого стержня. Расстояние между шарами r = 0,5 м. Масса каждого шара m = 1 кг. Найти: а) момент инерции Jl системы относительно оси, проходящей через середину стержня перпендикулярно к нему; б) момент инерции J2 системы относительно той же оси, считая шары материальными точками, массы которых сосредоточены в их центрах; в) относительную ошибку S = (J1 - J2)/J2, которую мы допускаем при вычислении момента инерции системы, заменяя величину J1, величиной J2.

3.3. К ободу однородного диска радиусом R = 0,2 м приложена касательная сила F = 98,1H. При вращении на диск действует момент сил трения Мтр=98,1Н м. Найти массу m дисков, если известно, что диск вращается с угловым ускорением е = 100 рад/с2.

3.4. Однородный стержень длиной L = 1 м и массой m - 0,5 кг вращается в вертикальной плоскости вокруг горизонтальной оси, проходящей через середину стержня. С каким угловым ускорением е вращается стержень, если на него действует момент сил М = 98,1 мН м?

3.5. Однородный диск радиусом R = 0,2 м и массой m = 0,5 кг вращается вокруг оси, проходящей через его центр перпендикулярно к его плоскости. Зависимость угловой скорости со вращения диска от времени t дается уравнением to = А + Bt, где В = 8 рад/с2. Найти касательную силу F, приложенную к ободу диска. Трением пренебречь.

Страница 1 из 3

3.1. Найти момент инерции J и момент импульса L земного шара относительно оси вращения.

Решение:

3.2. Два шара одинакового радиуса R = 5 см закреплены на концах невесомого стержня. Расстояние между шарами r = 0,5 м. Масса каждого шара m = 1 кг. Найти: а) момент инерции J 1 системы относительно оси, проходящей через середину стержня перпендикулярно к нему; б) момент инерции J 2 системы относительно той же оси, считая шары материальными точками, массы которых сосредоточены в их центрах; в) относительную ошибку б = (J 1 - J 2)/ J 2 , которую мы допускаем при вычислении момента инерции системы, заменяя величину J 1 величиной J 2 .

Решение:

3.3. К ободу однородного диска радиусом R = 0,2 м прило касательная сила F = 98,1 Н. При вращении на диск действует момент сил трения M тр = 98,1 Н*м. Найти массу m дисков, если известно, что диск вращается с угловым ускоре е = 100 рад/с 2 .

Решение:

3.4. Однородный стержень длиной l = 1 м и массой m = 0,5 кг вращается в вертикальной плоскости вокруг горизонтальной оси, проходящей через середину стержня. С каким угловым ускорением е вращается стержень, если на него действует момент сил М = 98,1 мН*м?

Решение:

3.5. Однородный диск радиусом R = 0,2 м и массой m = 0,5 кг вращается вокруг оси, проходящей через его центр перпендикулярно к его плоскости. Зависимость угловой скорости w вращения диска от времени t дается уравнением w = А + Bt , где В = 8 рад/с 2 . Найти касательную силу F , приложенную к ободу диска. Трением пренебречь.

Решение:

3.6. Маховик, момент инерции которого J = 63,6кгм 2 враща с угловой скоростью w = 31,4 рад/с. Найти момент сил тор М , под действием которого маховик останавливается через время t = 20 с. Маховик считать однородным диском.

Решение:

3.7. К ободу колеса радиусом 0,5м и массой m = 50 кг при касательная сила F = 98,1 Н. Найти угловое ускорение s колеса. Через какое время t после начала действия силы колесо будет иметь частоту вращения n = 100 об/с? Колесо считать однородным диском. Трением пренебречь.

Решение:

3.8. Маховик радиусом R = 0,2 м и массой m = 10 кг соединен с мотором при помощи приводного ремня. Сила натяжения ремня, идущего без скольжения, T = 14,7Н. Какую частоту вра n будет иметь маховик через время t = 10 с после начала движения? Маховик считать однородным диском. Трением пренебречь.

Решение:

3.9. Маховое колесо, момент инерции которого J = 245 кг л, вращается с частотой n = 20 об/с. Через время t = 1 мин после того, как на колесо перестал действовать момент сил М , оно остановилось. Найти момент сил трения и число оборотов N, которое сделало колесо до полной остановки после прекра действия сил. Колесо считать однородным диском.

Решение:

З.10. Две гири с массами m 1 =2 кг и m 2 =1кг соединены нитью, перекинутой через блок массой m = 1 кг. Найти ускорение а , с которым движутся гири, и силы натяжения T 1 и T 2 нитей, к которым подвешены гири. Блок считать однородным диском. Трением пренебречь.

Решение:

3.11. На барабан массой m 0 =9кг намотан шнур, к концу которого привязан груз массой m = 2 кг. Найти ускорение а гру. Барабан считать однородным цилиндром. Трением прене.

Решение:

3.12. На барабан радиусом R = 0,5 м намотан шнур, к концу которого привязан груз массой m = 10 кг. Найти момент инерции J барабана, если известно, что груз опускается с ускорением а = 2,04 м/с 2 .

Решение:

3.13. На барабан радиусом R = 20 см, момент инерции кото J = 0,1 кгм 2 , намотан шнур, к концу которого привязан груз массой m = 0,5 кг. До начала вращения барабана высота груза над полом h Q = 1 м. Через какое время t груз опустится до пола? Найти кинетическую энергию W K груза в момент удара о пол и силу натяжения нити T. Трением пренебречь.

Решение:

3.14. Две гири с разными массами соединены нитью, переки через блок, момент инерции которого J = 50 кгм 2 и радиус R = 20 см. Момент сил трения вращающегося блока = 98,1 Нм. Найти разность сил натяжения нити T 1 -T 2 по обе стороны блока, если известно, что блок вращается с угловым ускорением e = 2,36 рад/с 2 . Блок считать однородным диском.

Решение:

3.15. Блок массой m = 1 кг укреплен на конце стола (см. рис. и задачу 2.31). Гири 1 и 2 одинаковой массы m 1 =m 2 =1кг соединены нитью, перекинутой через блок. Коэффициент трения гири 2 о стол к = 0,1 . Найти ускорение а , с которым движутся гири, и силы натяжения T 1 и T 2 нитей. Блок считать однород диском. Трением в блоке пренебречь.

Решение:

3.16. Диск массой m = 2 кг катится без скольжения по гори плоскости со скоростью v = 4 м/с. Найти кинети энергию W k диска.

Решение:

3.17. Шар диаметром D = 6 см и массой m = 0,25 кг катится без скольжения по горизонтальной плоскости с частотой враще n = 4 об/с. Найти кинетическую энергию W K шара.

Решение:

3.18. Обруч и диск одинаковой массы m 1 = m 2 катятся без скольжения с одной и той же скоростью v. Кинетическая энер обруча W Kl =4кгсм. Найти кинетическую энергию W k2 диска.

Решение:

3.19. Шар массой m = 1 кг катится без скольжения, ударяется о стенку и откатывается от нее. Скорость шара до удара о стенку v = 10 см/с, после удара u = 8 см/с. Найти количество теплоты Q , выделившееся при ударе шара о стенку.

Решение:

3.20. Найти относительную ошибку б, которая получится при вычислении кинетической энергии W K катящегося шара, если не учитывать вращения шара.

Решение:

Закон динамики вращательного движения твердого тела в проекции на ось вращения z : , где I z – момент инерции тела относительно оси вращения, – проекция углового ускорения на ось вращения, – сумма проекций внешних моментов сил, – проекция момента импульса твердого тела.

где – радиус вектор точки приложения силы . , , – проекции момента силы. Модуль момента силы или , где a – угол между силой и радиусом-вектором .

7-1. Тонкий однородный стержень массы m = 1 кг и длины l = 1 м может вращаться в вертикальной плоскости вокруг горизонтальной оси, проходящей через его конец. В оси действует момент сил трения М тр. = 1 Н×м. Стержень приводят в горизонтальное положение и отпускают без толчка. Найдите угловое ускорение в начальный момент времени. g = 10 м/с 2 .

7-2. Тонкий однородный стержень массы m и длины l может вращаться в вертикальной плоскости без трения вокруг горизонтальной оси, проходящей через его конец. Стержень располагают под углом a к горизонту и отпускают без толчка. Найдите его угловое ускорение в начальный момент времени. m = 1 кг, l = 1 м, a = 30°, g = 10 м/с 2 .

7-3. Тонкий однородный стержень массы m = 1 кги длины l = 1 м может вращаться в горизонтальной плоскости без трения вокруг вертикальной оси С , проходящей через середину стержня. К концу стержня в плоскости вращения под углом a = 30° к стержню прикладывают силу =1 Н. Найдите угловое ускорение стержня в начальный момент времени.

7-4. Тонкий однородный стержень массы m и длины l может вращаться в горизонтальной плоскости вокруг вертикальной оси С , проходящей через середину стержня. В оси действует момент силы трения М тр. К концу стержня в плоскости вращения перпендикулярно стержню прикладывают силу . Найдите угловое ускорение стержня в начальный момент времени.

m = 1 кг, l = 1 м, F = 3 Н, М тр = 1 Н×м.

7-5. Тонкая однородная пластина в виде квадрата со стороной b С С равен I . К середине стороны квадрата приклеили маленький грузик массы m и отпустили без толчка. В начальный момент сторона квадрата была вертикальна. Найдите угловое ускорение получившейся фигуры в начальный момент времени. m = 1 кг, I = 1 , b = 1 м, g = 10 м/с 2 .

7-6. Тонкая однородная прямоугольная пластина со сторонами b и a может вращаться без трения в вертикальной плоскости вокруг горизонтальной оси, проходящей через центр масс С . Момент инерции пластины относительно оси С равен I . К середине стороны пластины приклеили маленький грузик массы m и отпустили без толчка. В начальный момент сторона пластины была вертикальна. Найдите угловое ускорение получившейся фигуры в начальный момент времени.

m = 1 кг, I = 1 , b = 1 м, a = 2 м, g = 10 м/с 2 .

7-7. Некоторое тело вращается вокруг закрепленной оси без трения. Его момент импульса относительно оси вращения зависит от времени по закону . Через время t =1 с тело имеет угловое ускорение e. Найти момент инерции тела, если t =1 с. A = 1 , e = 1 рад/с 2 .

7-8. Тело вращается вокруг закрепленной оси с угловым ускорением, зависимость от времени которого задается графиком. Момент инерции тела относительно оси вращения равен I. Найти момент импульса тела в момент времени с, если с –2 . I = 1

Закон динамики вращательного движения твердого тела в проекции на ось вращения z : , где I z – момент инерции тела относительно оси вращения, – проекция углового ускорения на ось вращения, – сумма проекций внешних моментов сил, – проекция момента импульса твердого тела.

где – радиус вектор точки приложения силы . , , – проекции момента силы. Модуль момента силы или , где a – угол между силой и радиусом-вектором .

7-1. Тонкий однородный стержень массы m = 1 кг и длины l = 1 м может вращаться в вертикальной плоскости вокруг горизонтальной оси, проходящей через его конец. В оси действует момент сил трения М тр. = 1 Н×м. Стержень приводят в горизонтальное положение и отпускают без толчка. Найдите угловое ускорение в начальный момент времени. g = 10 м/с 2 .

7-2. Тонкий однородный стержень массы m и длины l может вращаться в вертикальной плоскости без трения вокруг горизонтальной оси, проходящей через его конец. Стержень располагают под углом a к горизонту и отпускают без толчка. Найдите его угловое ускорение в начальный момент времени. m = 1 кг, l = 1 м, a = 30°, g = 10 м/с 2 .

7-3. Тонкий однородный стержень массы m = 1 кги длины l = 1 м может вращаться в горизонтальной плоскости без трения вокруг вертикальной оси С , проходящей через середину стержня. К концу стержня в плоскости вращения под углом a = 30° к стержню прикладывают силу =1 Н. Найдите угловое ускорение стержня в начальный момент времени.

7-4. Тонкий однородный стержень массы m и длины l может вращаться в горизонтальной плоскости вокруг вертикальной оси С , проходящей через середину стержня. В оси действует момент силы трения М тр. К концу стержня в плоскости вращения перпендикулярно стержню прикладывают силу . Найдите угловое ускорение стержня в начальный момент времени.

m = 1 кг, l = 1 м, F = 3 Н, М тр = 1 Н×м.

7-5. Тонкая однородная пластина в виде квадрата со стороной b С С равен I . К середине стороны квадрата приклеили маленький грузик массы m и отпустили без толчка. В начальный момент сторона квадрата была вертикальна. Найдите угловое ускорение получившейся фигуры в начальный момент времени. m = 1 кг, I = 1 , b = 1 м, g = 10 м/с 2 .

7-6. Тонкая однородная прямоугольная пластина со сторонами b и a может вращаться без трения в вертикальной плоскости вокруг горизонтальной оси, проходящей через центр масс С . Момент инерции пластины относительно оси С равен I . К середине стороны пластины приклеили маленький грузик массы m и отпустили без толчка. В начальный момент сторона пластины была вертикальна. Найдите угловое ускорение получившейся фигуры в начальный момент времени.

m = 1 кг, I = 1 , b = 1 м, a = 2 м, g = 10 м/с 2 .

7-7. Некоторое тело вращается вокруг закрепленной оси без трения. Его момент импульса относительно оси вращения зависит от времени по закону . Через время t =1 с тело имеет угловое ускорение e. Найти момент инерции тела, если t =1 с. A = 1 , e = 1 рад/с 2 .

7-8. Тело вращается вокруг закрепленной оси с угловым ускорением, зависимость от времени которого задается графиком. Момент инерции тела относительно оси вращения равен I. Найти момент импульса тела в момент времени с, если с –2 . I = 1